ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной призмы \( ABCA_1B_1C_1 \) равна \( a \). Угол между прямыми \( AB_1 \) и \( BC_1 \) равен \( \arccos \frac{1}{4} \). Найдите боковое ребро призмы.

Пусть боковое ребро призмы равно \( x \).

Основание — правильный треугольник со стороной \( a \), значит \( AB = BC = a \).

Векторы \( \overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1} \) и \( \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} \), где \( \overrightarrow{BB_1} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \) — боковые ребра длины \( x \), направленные вертикально.

Угол между \( \overrightarrow{AB_1} \) и \( \overrightarrow{BC_1} \) равен \( \arccos \frac{1}{4} \), то есть

\( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{BC_1}|} = \frac{1}{4} \).

Подставляя длины и скалярное произведение, получаем уравнение для \( x \), решая которое, находим два значения:

\( x = a \) или \( x = \frac{a \sqrt{5}}{5} \).

Рассмотрим правильную треугольную призму, у которой основание — правильный треугольник со стороной \( a \). Боковое ребро призмы обозначим через \( x \). Векторы, задающие ребра призмы, можно представить так: в основании вектор \( \overrightarrow{AB} \) имеет длину \( a \), а боковое ребро \( \overrightarrow{BB_1} \) направлено вертикально и имеет длину \( x \). Тогда вектор \( \overrightarrow{AB_1} \), соединяющий точку \( A \) с вершиной \( B_1 \) верхнего основания, равен сумме векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1} \). Аналогично для ребра \( \overrightarrow{BC_1} \), соединяющего \( B \) с \( C_1 \), получаем \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} \).

Для нахождения угла между ребрами \( \overrightarrow{AB_1} \) и \( \overrightarrow{BC_1} \) используем формулу косинуса угла между двумя векторами:

\( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{BC_1}|} \),

где точечное произведение векторов \( \overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1} \) и их длины \( |\overrightarrow{AB_1}| \), \( |\overrightarrow{BC_1}| \) выражаются через \( a \) и \( x \). Из условия задачи угол равен \( \arccos \frac{1}{4} \), то есть

\( \cos \theta = \frac{1}{4} \).

Подставляя компоненты векторов и учитывая, что боковые ребра вертикальны и перпендикулярны основанию, получаем уравнение для \( x \):

\( \frac{a^{2} + x^{2}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}} \cdot \sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{4} \),

которое упрощается до квадратного уравнения относительно \( x^{2} \). Решая его, находим два возможных значения \( x \):

\( x = a \) или \( x = \frac{a \sqrt{5}}{5} \).

Таким образом, боковое ребро призмы может быть равно либо стороне основания \( a \), либо выражаться через \( a \) как \( \frac{a \sqrt{5}}{5} \), что соответствует заданному углу между ребрами.