ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.47 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между скрещивающимися прямыми \( t \) и \( n \) равен 60°. Точки \( A \) и \( C \) принадлежат прямой \( m \), а точки \( B \) и \( D \) — прямой \( n \). Отрезок \( CD \) является общим перпендикуляром прямых \( m \) и \( n \). Найдите отрезок \( CD \), если известно, что \( AC = BD = a, AB = 2a \).

Найти \( CD \).

Решение:

1. Вектор \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} \), тогда

\((\overrightarrow{AB})^2 = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB})^2\).

2. Угол между векторами \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{DB} \) равен 60° или 120°.

3. Из условия и геометрии получается, что \( CD = a \) или \( CD = a \sqrt{3} \).

1. Рассмотрим векторный отрезок \( \overrightarrow{AB} \). Согласно условию, точки \( A \) и \( C \) лежат на прямой \( m \), а точки \( B \) и \( D \) — на прямой \( n \). Отрезок \( CD \) является общим перпендикуляром к этим прямым. Тогда вектор \( \overrightarrow{AB} \) можно представить как сумму трех векторов: \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{DB} \). Запишем это как \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} \). Возводя обе части в квадрат, получаем \( (\overrightarrow{AB})^2 = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB})^2 \).

2. По условию, длины отрезков \( AC \) и \( BD \) равны \( a \), а отрезок \( AB = 2a \). Угол между прямыми \( m \) и \( n \), а значит и между векторами \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{DB} \), равен 60° или 120°. Это важно для вычисления скалярного произведения векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{DB} \). Используем формулу для квадрата суммы векторов: \( (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB})^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{CD}|^2 + |\overrightarrow{DB}|^2 + 2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD}) +\)
\(+ 2(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DB}) + 2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB}) \). Поскольку \( \overrightarrow{CD} \) перпендикулярен обеим прямым, скалярные произведения \( (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD}) \) и \( (\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DB}) \) равны нулю.

3. Тогда уравнение упрощается до \( (\overrightarrow{AB})^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{CD}|^2 + |\overrightarrow{DB}|^2 + 2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB}) \). Подставляя известные длины, получаем \( (2a)^2 = a^2 + CD^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos \theta \), где \( \theta = 60^\circ \) или \( 120^\circ \). Это даёт уравнение \( 4a^2 = 2a^2 + CD^2 + 2a^2 \cos \theta \), откуда \( CD^2 = 4a^2 — 2a^2 — 2a^2 \cos \theta = 2a^2 (1 — \cos \theta) \). При \( \theta = 60^\circ \), \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), тогда \( CD^2 = 2a^2 (1 — \frac{1}{2}) = a^2 \), значит \( CD = a \). При \( \theta = 120^\circ \), \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \), тогда \( CD^2 = 2a^2 (1 + \frac{1}{2}) = 3a^2 \), значит \( CD = a \sqrt{3} \).

Ответ \( CD = a \) или \( CD = a \sqrt{3} \)