ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.49 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) равно 1 см. Точка \( M \) — середина ребра \( CC_1 \). Найдите угол и расстояние между прямыми \( AM \) и \( DB_1 \).

Угол между прямыми \( AM \) и \( DB_1 \):

\[
\theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{9}
\]

Расстояние между прямыми \( AM \) и \( DB_1 \):

\[
\rho = \frac{\sqrt{26}}{26} \text{ см}
\]

Для нахождения угла между прямыми \( AM \) и \( DB_1 \) необходимо сначала определить векторы, которые задают эти прямые. Вектор \( \overrightarrow{AM} \) направлен от точки \( A \) к точке \( M \), а вектор \( \overrightarrow{DB_1} \) — от точки \( D \) к точке \( B_1 \). После определения координат этих точек, мы можем найти координаты векторов, вычтя координаты начальной точки из конечной. Далее угол между прямыми вычисляется через косинус угла между векторами по формуле \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{DB_1}}{|\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{DB_1}|} \), где \( \cdot \) — скалярное произведение, а \( | \cdot | \) — длина вектора. В итоге получается значение угла \( \theta = \arccos \frac{\sqrt{3}}{9} \), что указывает на конкретное значение косинуса угла между этими прямыми.

Расстояние между двумя прямыми в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, вычисляется через формулу, основанную на векторном произведении. Для этого берутся векторы, задающие направления прямых, и вектор, соединяющий произвольные точки на этих прямых. Расстояние равно модулю скалярного произведения вектора, соединяющего точки, и векторного произведения направляющих векторов, делённому на длину векторного произведения этих направляющих векторов. В данном случае, после подстановки и вычислений, получаем расстояние между прямыми \( AM \) и \( DB_1 \) равное \( \frac{\sqrt{26}}{26} \) сантиметров. Это значение показывает минимальное расстояние между двумя пространственными прямыми.

Таким образом, окончательный ответ на задачу состоит из двух частей: угол между прямыми равен \( \arccos \frac{\sqrt{3}}{9} \), а расстояние между ними составляет \( \frac{\sqrt{26}}{26} \) сантиметров. Эти результаты получены с использованием классических методов векторной алгебры и геометрии пространства, что позволяет точно определить взаимное расположение данных прямых в трёхмерном пространстве.