ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен 45°, \( |\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 3\sqrt{2} \). Найдите:

1) \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} \);

2) \( (2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{a} \);

3) \( (\vec{a} — \vec{b})^2 \).

1) \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \).
Вычислим скалярные произведения:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 45^\circ = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \),
\( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 \).
Итого: \( 9 + 18 = 27 \).

2) \( (2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2\vec{a} \cdot \vec{a} — \vec{b} \cdot \vec{a} \).
Вычислим:
\( 2|\vec{a}|^2 = 2 \cdot 3^2 = 18 \),
\( \vec{b} \cdot \vec{a} = 9 \) (см. пункт 1).
Итого: \( 18 — 9 = 9 \).

3) \( (\vec{a} — \vec{b})^2 = (\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) = \vec{a}^2 — 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 \).
Вычислим:
\( \vec{a}^2 = 9 \),
\( -2 \cdot 9 = -18 \),
\( \vec{b}^2 = 18 \).
Итого: \( 9 — 18 + 18 = 9 \).

1) Рассмотрим выражение \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} \). По свойствам скалярного произведения, оно раскладывается на сумму двух скалярных произведений: \( \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \). Чтобы найти значение, нужно вычислить каждое из них. Для \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) используется формула \( |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \), где \( \theta = 45^\circ \). Подставляем: \( 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ \). Косинус 45 градусов равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \). Корни \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \), следовательно, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 2}{2} = 9 \).

Далее вычисляем \( \vec{b} \cdot \vec{b} \), что равно квадрату длины вектора \( \vec{b} \), то есть \( (3\sqrt{2})^2 \). Возводим в квадрат: \( 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \). Складываем результаты: \( 9 + 18 = 27 \). Это и есть ответ для первого пункта.

2) Во втором пункте вычисляется скалярное произведение \( (2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{a} \). Раскрываем скобки по дистрибутивному закону: \( 2\vec{a} \cdot \vec{a} — \vec{b} \cdot \vec{a} \). Скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{a} \) равно квадрату длины вектора \( \vec{a} \), то есть \( 3^2 = 9 \). Значит, \( 2\vec{a} \cdot \vec{a} = 2 \cdot 9 = 18 \).

Скалярное произведение \( \vec{b} \cdot \vec{a} \) уже было найдено в первом пункте и равно 9. Подставляем: \( 18 — 9 = 9 \). Это итоговый результат второго выражения.

3) В третьем пункте нужно найти квадрат длины разности векторов \( (\vec{a} — \vec{b})^2 \), что по определению равно скалярному произведению \( (\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) \). Раскрываем скобки: \( \vec{a} \cdot \vec{a} — 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \).

Подставляем известные значения: \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 9 \), \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 9 \), \( \vec{b} \cdot \vec{b} = 18 \). Получаем: \( 9 — 2 \cdot 9 + 18 = 9 — 18 + 18 = 9 \). Таким образом, квадрат длины разности векторов равен 9.