ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием тетраэдра \( DABC \) является равносторонний треугольник \( ABC \). Ребро \( DC \) перпендикулярно плоскости \( ABC \). Точки \( M \) и \( N \) — середины рёбер \( BC \) и \( AB \) соответственно. Найдите угол и расстояние между прямыми \( DM \) и \( CN \), если известно, что \( AB = 4 \) см, \( DC = \sqrt{2} \) см.

Пусть \( A=(0,0,0) \), \( B=(4,0,0) \), \( C=(2, 2\sqrt{3}, 0) \), \( D=(2, 2\sqrt{3}, \sqrt{2}) \).

Точки середины: \( M=\left(\frac{B_x+C_x}{2}, \frac{B_y+C_y}{2}, 0\right)=(3, \sqrt{3}, 0) \), \( N=\left(\frac{A_x+B_x}{2}, \frac{A_y+B_y}{2}, 0\right)=(2, 0, 0) \).

Векторы:
\( \overrightarrow{DM} = M — D = (1, -\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \),
\( \overrightarrow{CN} = N — C = (0, -2\sqrt{3}, 0) \).

Косинус угла между прямыми:
\( \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{DM}| \cdot |\overrightarrow{CN}|} = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Значит угол \( \theta = 45^\circ \).

Для расстояния между прямыми:
\( \overrightarrow{DN} = N — D = (0, -2\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \),
\( \overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{CN} = (-2\sqrt{6}, 0, -2\sqrt{3}) \),
\( |\overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{CN}| = 6 \),
\( |(\overrightarrow{DN} \cdot (\overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{CN}))| = 2\sqrt{6} \).

Расстояние
\( d = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \).

Для начала выберем удобную систему координат, чтобы упростить вычисления. Пусть точка \( A \) находится в начале координат, то есть \( A = (0,0,0) \). Так как треугольник равносторонний со стороной 4 см, положим точку \( B \) на оси \( x \) в точке \( B = (4,0,0) \). Чтобы найти координаты точки \( C \), используем свойства равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной 4 равна \( 2\sqrt{3} \), следовательно, \( C = (2, 2\sqrt{3}, 0) \). Точка \( D \) находится над точкой \( C \) на высоте \( \sqrt{2} \), значит \( D = (2, 2\sqrt{3}, \sqrt{2}) \).

Далее определим координаты точек \( M \) и \( N \), которые являются серединами отрезков \( BC \) и \( AB \) соответственно. Середина отрезка \( BC \) — это точка с координатами \( M = \left(\frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2}, 0\right) = \left(\frac{4 + 2}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{3}}{2}, 0\right) = (3, \sqrt{3}, 0) \). Аналогично середина отрезка \( AB \) — точка \( N = \left(\frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2}, 0\right) = \left(\frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 0}{2}, 0\right) = (2, 0, 0) \).

Теперь найдем векторы, задающие прямые \( DM \) и \( CN \). Вектор \( \overrightarrow{DM} \) вычисляется как разность координат \( M \) и \( D \):
\( \overrightarrow{DM} = (3 — 2, \sqrt{3} — 2\sqrt{3}, 0 — \sqrt{2}) = (1, -\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \).
Вектор \( \overrightarrow{CN} \) равен разности координат \( N \) и \( C \):
\( \overrightarrow{CN} = (2 — 2, 0 — 2\sqrt{3}, 0 — 0) = (0, -2\sqrt{3}, 0) \).

Для вычисления угла между прямыми используем формулу косинуса угла между векторами:
\( \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{DM}| \cdot |\overrightarrow{CN}|} \).
Скалярное произведение равно
\( \overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{CN} = 1 \cdot 0 + (-\sqrt{3})(-2\sqrt{3}) + (-\sqrt{2}) \cdot 0 = 6 \).
Длины векторов:
\( |\overrightarrow{DM}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 3 + 2} = \sqrt{6} \),
\( |\overrightarrow{CN}| = \sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
Подставляем в формулу:
\( \cos \theta = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{18}} = \frac{6}{2 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Отсюда угол \( \theta = 45^\circ \).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем формулу
\( d = \frac{|(\overrightarrow{DN} \cdot (\overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{CN}))|}{|\overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{CN}|} \),
где \( \overrightarrow{DN} = N — D = (2 — 2, 0 — 2\sqrt{3}, 0 — \sqrt{2}) = (0, -2\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \).
Вычислим векторное произведение:
\( \overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{CN} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -\sqrt{3} & -\sqrt{2} \\
0 & -2\sqrt{3} & 0
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 — 2\sqrt{6}) — \mathbf{j}(0 — 0) + \mathbf{k}(-2\sqrt{3} — 0)=\)
\( = (-2\sqrt{6}, 0, -2\sqrt{3}) \).
Длина этого вектора:
\( |\overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{CN}| = \sqrt{(-2\sqrt{6})^2 + 0^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{24 + 0 + 12} = \sqrt{36} = 6 \).
Скалярное произведение:
\( \overrightarrow{DN} \cdot (\overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{CN}) = 0 \cdot (-2\sqrt{6}) + (-2\sqrt{3}) \cdot 0 + (-\sqrt{2})(-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{6} \).
Следовательно, расстояние равно
\( d = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \).