ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.52 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра \( AB \) и \( CD \) тетраэдра \( DABC \) перпендикулярны, каждое из них равно 3 см. На ребре \( AB \) отметили точки \( M \) и \( N \), а на ребре \( CD \) — точки \( P \) и \( K \) так, что \( AM = NB = CP = KD = 1 \) см. Найдите расстояние между серединами отрезков \( MP \) и \( NK \).

Пусть \( A = (0,0,0) \), \( B = (3,0,0) \), \( C = (0,0,3) \), \( D = (0,0,0) \). Так как \( AB \perp CD \), и оба равны 3.

Точки:
\( M = (1,0,0) \),
\( N = (2,0,0) \),
\( P = (0,0,1) \),
\( K = (0,0,2) \).

Середины отрезков:
\( MP = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) \),
\( NK = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = \left(1, 0, 1\right) \).

Расстояние между серединами:
\( RQ = \sqrt{\left(1 — \frac{1}{2}\right)^2 + (0-0)^2 + (1 — \frac{1}{2})^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}=\)
\( = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Рассмотрим тетраэдр \( DABC \), в котором ребра \( AB \) и \( CD \) перпендикулярны и равны по длине 3 см. Для удобства введём систему координат так, чтобы точка \( A \) находилась в начале координат, то есть \( A = (0,0,0) \). Тогда, поскольку \( AB = 3 \) и ребро направлено вдоль оси \( x \), точка \( B \) будет иметь координаты \( B = (3,0,0) \). Аналогично, ребро \( CD \) перпендикулярно \( AB \) и также равно 3, поэтому расположим его вдоль оси \( z \). Пусть \( D = (0,0,0) \) (совпадает с \( A \)), тогда \( C = (0,0,3) \).

На ребре \( AB \) отмечены точки \( M \) и \( N \) так, что \( AM = NB = 1 \) см. Поскольку \( AB \) лежит на оси \( x \), координаты точек будут \( M = (1,0,0) \) и \( N = (2,0,0) \), так как \( AM = 1 \) и \( NB = 1 \) означают, что \( M \) находится на 1 см от \( A \), а \( N \) на 1 см от \( B \). Аналогично, на ребре \( CD \), которое лежит на оси \( z \), точки \( P \) и \( K \) таковы, что \( CP = KD = 1 \) см. Тогда \( P = (0,0,1) \) и \( K = (0,0,2) \).

Теперь найдём середины отрезков \( MP \) и \( NK \). Середина отрезка \( MP \) — это точка \( R \) с координатами, которые равны среднему арифметическому соответствующих координат точек \( M \) и \( P \):

\( R = \left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} \right) \).

Середина отрезка \( NK \) — точка \( Q \) с координатами:

\( Q = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = \left( 1, 0, 1 \right) \).

Расстояние между точками \( R \) и \( Q \) вычисляется по формуле расстояния в пространстве:

\( RQ = \sqrt{\left( 1 — \frac{1}{2} \right)^2 + (0 — 0)^2 + \left( 1 — \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + 0 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}=\)
\( = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Таким образом, расстояние между серединами отрезков \( MP \) и \( NK \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) см.