ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.54 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10 см, а радиус вписанной в неё окружности равен 4 см. Найдите площадь трапеции.

Дано: боковые стороны равнобокой трапеции \( BC = AD = 10 \) см, радиус вписанной окружности \( r = 4 \) см.

Периметр трапеции \( P = BC + AD + AB + CD \). Для трапеции с вписанной окружностью сумма оснований равна сумме боковых сторон, значит \( AB + CD = BC + AD = 10 + 10 = 20 \) см.

Высота трапеции \( h = 2r = 8 \) см (так как радиус вписанной окружности равен половине высоты).

Площадь трапеции \( S = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80 \) см².

В равнобокой трапеции боковые стороны равны, поэтому \( BC = AD = 10 \) см. Известно, что в трапецию вписана окружность с радиусом \( r = 4 \) см. Особенность трапеции с вписанной окружностью в том, что сумма оснований равна сумме боковых сторон. Это связано с тем, что касательные от одной точки к окружности равны, и тогда периметр можно разбить так, что \( AB + CD = BC + AD \). В нашем случае это даёт \( AB + CD = 10 + 10 = 20 \) см.

Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра окружности до любой стороны, то есть высоте трапеции. Высота \( h \) равна удвоенному радиусу, так как радиус — это расстояние от центра окружности до основания, а высота — расстояние между основаниями. Следовательно, \( h = 2r = 2 \cdot 4 = 8 \) см. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции на основание, и она важна для вычисления площади.

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h \). Подставляя известные значения, получаем \( S = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80 \) см². Таким образом, площадь равнобокой трапеции с данными параметрами равна 80 квадратным сантиметрам.