ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.55 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике \( ABCD \) отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Диагонали \( AC \) и \( BD \) четырёхугольника соответственно равны 6 см и 8 см. Найдите площадь данного четырёхугольника.

Пусть \( MN = PQ \) — отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Так как \( MN = PQ \), то четырёхугольник \( MNPQ \) — прямоугольник.

Диагонали \( AC \) и \( BD \) равны 6 см и 8 см соответственно.

Площадь четырёхугольника \( ABCD \) равна половине произведения диагоналей, так как диагонали перпендикулярны:

\( S = \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ см}^2 \).

1. В условии задачи дан выпуклый четырёхугольник \( ABCD \), у которого отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. Обозначим эти отрезки как \( MN \) и \( PQ \), где \( M \) и \( N \) — середины сторон \( AB \) и \( CD \), а \( P \) и \( Q \) — середины сторон \( BC \) и \( DA \). Из равенства \( MN = PQ \) следует, что четырёхугольник, образованный этими точками, является параллелограммом с равными противоположными сторонами, а именно прямоугольником, так как диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

2. В задаче указано, что диагонали четырёхугольника \( AC \) и \( BD \) равны 6 см и 8 см соответственно. Поскольку \( MN = PQ \), а \( MN \) и \( PQ \) параллельны и равны, то диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются под прямым углом. Это значит, что четырёхугольник \( ABCD \) можно рассматривать как фигуру с перпендикулярными диагоналями, где площадь вычисляется по формуле площади ромба или прямоугольника с диагоналями.

3. Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями находится по формуле \( S = \frac{AC \cdot BD}{2} \). Подставляем известные значения: \( AC = 6 \) см, \( BD = 8 \) см, тогда площадь равна \( S = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) см\( ^2 \). Таким образом, площадь четырёхугольника \( ABCD \) равна 24 квадратных сантиметра.