ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) равен 150°, \( |\vec{m}| = 2, |\vec{n}| = \sqrt{3} \). Найдите:

1) \( (3\vec{m} — 4\vec{n}) \cdot \vec{m} \);

2) \( (\vec{m} + \vec{n})^2 \).

1) Вычислим скалярное произведение:
\((3\vec{m} — 4\vec{n}) \cdot \vec{m} = 3\vec{m} \cdot \vec{m} — 4\vec{n} \cdot \vec{m}\).

Так как \(\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 2^2 = 4\),
а \(\vec{n} \cdot \vec{m} = |\vec{n}| |\vec{m}| \cos 150^\circ = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos 150^\circ = 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -3\),

получаем:
\(3 \cdot 4 — 4 \cdot (-3) = 12 + 12 = 24\).

2) Найдём квадрат суммы векторов:
\((\vec{m} + \vec{n})^2 = (\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} + \vec{n}) = \vec{m}^2 + 2 \vec{m} \cdot \vec{n} + \vec{n}^2\).

Подставим значения:
\(\vec{m}^2 = 4\),
\(\vec{n}^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\),
\(\vec{m} \cdot \vec{n} = -3\) (см. выше).

Тогда:
\(4 + 2 \cdot (-3) + 3 = 4 — 6 + 3 = 1\).

1) Рассмотрим выражение \((3\vec{m} — 4\vec{n}) \cdot \vec{m}\). Чтобы вычислить скалярное произведение, нужно раскрыть скобки по свойствам скалярного произведения:
\((3\vec{m} — 4\vec{n}) \cdot \vec{m} = 3\vec{m} \cdot \vec{m} — 4\vec{n} \cdot \vec{m}\).

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины, то есть \(\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2\). По условию \( |\vec{m}| = 2 \), значит:
\(\vec{m} \cdot \vec{m} = 2^2 = 4\).

Далее вычислим \(\vec{n} \cdot \vec{m}\). По формуле скалярного произведения двух векторов:
\(\vec{n} \cdot \vec{m} = |\vec{n}| |\vec{m}| \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между векторами. По условию \(\theta = 150^\circ\), \( |\vec{n}| = \sqrt{3} \), \( |\vec{m}| = 2 \). Тогда:
\(\vec{n} \cdot \vec{m} = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos 150^\circ\).

Косинус 150° равен \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\), подставляем:
\(\vec{n} \cdot \vec{m} = 2 \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3\).

Подставляем найденные значения в исходное выражение:
\(3 \cdot 4 — 4 \cdot (-3) = 12 + 12 = 24\).

2) Теперь вычислим \((\vec{m} + \vec{n})^2\). Раскроем квадрат суммы векторов по формуле:
\((\vec{m} + \vec{n})^2 = (\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} + \vec{n}) = \vec{m} \cdot \vec{m} + 2 \vec{m} \cdot \vec{n} + \vec{n} \cdot \vec{n}\).

Здесь \(\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 4\), \(\vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\), а \(\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} = -3\) (вычислено выше).

Подставим все значения:
\(4 + 2 \cdot (-3) + 3 = 4 — 6 + 3 = 1\).

Таким образом, результат равен 1.