ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен 120°, \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \). Вычислите скалярное произведение \( (\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} — 7\vec{b}) \).

Вычислим скалярное произведение:

\((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} — 7\vec{b}) = \vec{a} \cdot 4\vec{a} + \vec{a} \cdot (-7\vec{b}) + 3\vec{b} \cdot 4\vec{a} + 3\vec{b} \cdot (-7\vec{b})\).

Раскроем скалярные произведения:

\(= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) — 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 12(\vec{b} \cdot \vec{a}) — 21(\vec{b} \cdot \vec{b})\).

Так как \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\), и \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\), то

\(\vec{a} \cdot \vec{a} = 1\), \(\vec{b} \cdot \vec{b} = 1\),

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}\).

Подставляем:

\(= 4 \cdot 1 — 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — 21 \cdot 1\).

Выполним вычисления:

\(= 4 + \frac{7}{2} — 6 — 21 = 4 + 3.5 — 6 — 21 = -14.5\).

1. Рассмотрим выражение для скалярного произведения двух векторов: \((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} — 7\vec{b})\). Для вычисления этого произведения нужно раскрыть скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения. Это означает, что каждое слагаемое из первой скобки умножается на каждое слагаемое из второй скобки. Таким образом, получаем сумму четырёх скалярных произведений: \(4 \vec{a} \cdot \vec{a}\), \(-7 \vec{a} \cdot \vec{b}\), \(12 \vec{b} \cdot \vec{a}\) и \(-21 \vec{b} \cdot \vec{b}\).

2. Следующий шаг — упростить каждое из этих скалярных произведений. Известно, что скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины. Поскольку \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = 1 \), то \(\vec{a} \cdot \vec{a} = 1\) и \(\vec{b} \cdot \vec{b} = 1\). Также скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вычисляется по формуле \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между векторами. В данном случае \(\theta = 120^\circ\), значит \(\cos 120^\circ = — \frac{1}{2}\). Следовательно, \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \left(- \frac{1}{2}\right) = — \frac{1}{2}\).

3. Подставляя эти значения в исходное выражение, получаем: \(4 \cdot 1 — 7 \cdot \left(- \frac{1}{2}\right) + 12 \cdot \left(- \frac{1}{2}\right) — 21 \cdot 1\). Считаем по порядку: \(4 + \frac{7}{2} — 6 — 21\). Приводим к общему виду: \(4 + 3.5 — 6 — 21 = 7.5 — 27 = -14.5\). Таким образом, скалярное произведение равно \(-14,5\).