ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен 60°, \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \). Вычислите скалярное произведение \( (5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 5\vec{b}) \).

Дано: угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 60°, \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \).

Вычислим скалярное произведение:

\[
(5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 5\vec{b}) = 5\vec{a} \cdot \vec{a} — 25 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} — 5 \vec{b} \cdot \vec{b}
\]

Так как \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1\), \(\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1\), и \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\),

подставляем:

\[
= 5 \cdot 1 — 25 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} — 5 \cdot 1 = 5 — 12.5 + 0.5 — 5
\]

Считаем:

\[
5 — 12.5 + 0.5 — 5 = (5 — 5) + (0.5 — 12.5) = 0 — 12 = -12
\]

Ответ: \(-12\).

1. Рассмотрим выражение для скалярного произведения двух векторов: \( (5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 5\vec{b}) \). Чтобы упростить это выражение, применим распределительный закон скалярного произведения, который гласит, что скалярное произведение суммы векторов равно сумме скалярных произведений. Разложим по слагаемым:

\( (5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 5\vec{b}) = 5\vec{a} \cdot \vec{a} — 25\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} — 5\vec{b} \cdot \vec{b} \).

Здесь мы умножили каждое слагаемое из первой скобки на каждое из второй, учитывая знак минус.

2. Далее рассмотрим каждое из скалярных произведений по отдельности. Известно, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \), и аналогично для \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \). В условии задачи даны равные длины векторов: \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \), значит \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 = 1 \) и \( \vec{b} \cdot \vec{b} = 1^2 = 1 \).

Для скалярного произведения разных векторов используется формула: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \), где \( \theta \) — угол между векторами. По условию \( \theta = 60^\circ \), а \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \). Следовательно, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

3. Подставим все найденные значения в исходное выражение:

\( 5 \cdot 1 — 25 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} — 5 \cdot 1 = 5 — \frac{25}{2} + \frac{1}{2} — 5 \).

Сложим числа:

\( 5 — 5 = 0 \),

и

\( — \frac{25}{2} + \frac{1}{2} = — \frac{24}{2} = -12 \).

Итоговое значение равно \( 0 — 12 = -12 \).

Ответ: \( -12 \).