ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 5.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если:

1) \( \vec{a} = (1; -2; 3), \vec{b} = (2; -4; 3) \);

2) \( \vec{a} = (-9; 4; 5), \vec{b} = (3; -1; 4) \).

Для 1)
Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (1; -2; 3) \) и \( \vec{b} = (2; -4; 3) \) вычисляется по формуле:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 3 = 2 + 8 + 9 = 19 \).

Для 2)
Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (-9; 4; 5) \) и \( \vec{b} = (3; -1; 4) \):
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (-9) \cdot 3 + 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 4 = -27 — 4 + 20 = -11 \).

1) Для нахождения скалярного произведения двух векторов \( \vec{a} = (1; -2; 3) \) и \( \vec{b} = (2; -4; 3) \) необходимо умножить соответствующие компоненты векторов друг на друга и сложить полученные произведения. Это математически выражается формулой:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \),
где \( a_1, a_2, a_3 \) — компоненты вектора \( \vec{a} \), а \( b_1, b_2, b_3 \) — компоненты вектора \( \vec{b} \).

Подставим значения:
\( 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 3 \).
Выполним умножение: \( 1 \cdot 2 = 2 \), \( (-2) \cdot (-4) = 8 \), \( 3 \cdot 3 = 9 \).
Теперь сложим результаты: \( 2 + 8 + 9 = 19 \).
Таким образом, скалярное произведение векторов равно 19.

2) Для второго случая векторов \( \vec{a} = (-9; 4; 5) \) и \( \vec{b} = (3; -1; 4) \) применяем ту же формулу:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).
Подставим значения:
\( (-9) \cdot 3 + 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 4 \).
Выполним умножение: \( (-9) \cdot 3 = -27 \), \( 4 \cdot (-1) = -4 \), \( 5 \cdot 4 = 20 \).
Сложим результаты: \( -27 — 4 + 20 = -11 \).
Итоговое скалярное произведение равно -11.