ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку \(A (3; -1; 2)\) и перпендикулярной прямой \(BC\), если:

1) \(B (2; 0; -3), C (4; -1; -5)\);

2) \(B (6; -7; -2), C (9; -5; 1)\).

1) Найдем вектор \(\overrightarrow{BC} = (4-2; -1-0; -5+3) = (2; -1; -2)\).
Уравнение плоскости, проходящей через точку \(A(3; -1; 2)\) с нормалью \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} = (2; -1; -2)\), имеет вид:
\(2(x-3) — 1(y+1) — 2(z-2) = 0\).
Раскроем скобки:
\(2x — 6 — y — 1 — 2z + 4 = 0\),
\(2x — y — 2z — 3 = 0\).

2) Найдем вектор \(\overrightarrow{BC} = (9-6; -5+7; 1+2) = (3; 2; 3)\).
Уравнение плоскости, проходящей через точку \(A(3; -1; 2)\) с нормалью \(\overrightarrow{n} = (3; 2; 3)\), имеет вид:
\(3(x-3) + 2(y+1) + 3(z-2) = 0\).
Раскроем скобки:
\(3x — 9 + 2y + 2 + 3z — 6 = 0\),
\(3x + 2y + 3z — 13 = 0\).

1) Для начала определим вектор, который задает направление прямой \(BC\). Для этого вычтем координаты точки \(B(2; 0; -3)\) из координат точки \(C(4; -1; -5)\). Получаем вектор \(\overrightarrow{BC} = (4 — 2; -1 — 0; -5 — (-3)) = (2; -1; -2)\). Этот вектор будет нормальным к искомой плоскости, так как плоскость перпендикулярна прямой \(BC\).

Далее, чтобы записать уравнение плоскости, нам нужна точка, через которую она проходит, и нормальный вектор к этой плоскости. Точка задана — это \(A(3; -1; 2)\). Нормальный вектор — это \(\overrightarrow{n} = (2; -1; -2)\). Общее уравнение плоскости с нормальным вектором \(\overrightarrow{n} = (a; b; c)\), проходящей через точку \(A(x_0; y_0; z_0)\), записывается как \(a(x — x_0) + b(y — y_0) + c(z — z_0) = 0\).

Подставляем значения: \(2(x — 3) — 1(y + 1) — 2(z — 2) = 0\). Раскроем скобки: \(2x — 6 — y — 1 — 2z + 4 = 0\). Сложим постоянные: \(-6 — 1 + 4 = -3\). Итоговое уравнение: \(2x — y — 2z — 3 = 0\).

2) Аналогично, найдем вектор \(\overrightarrow{BC}\) для второго случая. Координаты точки \(B(6; -7; -2)\) и \(C(9; -5; 1)\). Вычитаем координаты: \(\overrightarrow{BC} = (9 — 6; -5 — (-7); 1 — (-2)) = (3; 2; 3)\). Этот вектор — нормаль к искомой плоскости.

Используем точку \(A(3; -1; 2)\) и нормаль \(\overrightarrow{n} = (3; 2; 3)\) для уравнения плоскости: \(3(x — 3) + 2(y + 1) + 3(z — 2) = 0\). Раскроем скобки: \(3x — 9 + 2y + 2 + 3z — 6 = 0\). Сложим константы: \(-9 + 2 — 6 = -13\). Получаем уравнение: \(3x + 2y + 3z — 13 = 0\).