ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите угол между плоскостями \(2x — y + z — 3 = 0\) и \(x + 2y — 3z + 4 = 0\).

Нормали к плоскостям: \(\vec{n_1} = (2, -1, 1)\), \(\vec{n_2} = (1, 2, -3)\).

Скалярное произведение: \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 2 — 2 — 3 = -3\).

Длины векторов: \(|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}\), \(|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}\).

Косинус угла: \(\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{\sqrt{21}}{14}\).

Угол между плоскостями: \(\varphi = \arccos \frac{\sqrt{21}}{14}\).

Для нахождения угла между двумя плоскостями необходимо определить угол между их нормальными векторами. Пусть у нас есть две плоскости с уравнениями, нормали к которым равны \(\vec{n_1} = (2, -1, 1)\) и \(\vec{n_2} = (1, 2, -3)\). Нормальный вектор к плоскости — это вектор, перпендикулярный плоскости, и угол между плоскостями равен углу между этими векторами.

Сначала вычислим скалярное произведение нормалей. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) равно \(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\). Для наших векторов это будет \(2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 2 — 2 — 3 = -3\). Скалярное произведение показывает меру проекции одного вектора на другой и используется для вычисления угла между ними.

Далее найдём длины нормальных векторов. Длина вектора \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) равна \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\). Для \(\vec{n_1}\) это \(\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\), а для \(\vec{n_2}\) — \(\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}\). Чтобы найти косинус угла \(\varphi\) между векторами, используем формулу \(\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\). Подставляя значения, получаем \(\cos \varphi = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{84}}\).

Упростим знаменатель. Так как \(\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2 \sqrt{21}\), то \(\cos \varphi = \frac{3}{2 \sqrt{21}}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{21}\), получая \(\cos \varphi = \frac{3 \sqrt{21}}{2 \cdot 21} = \frac{\sqrt{21}}{14}\). Таким образом, угол между плоскостями равен \(\varphi = \arccos \frac{\sqrt{21}}{14}\).