ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Перпендикулярны ли плоскости:

1) \(2x + 5y — z + 7 = 0\) и \(3x — 2y — 4z — 9 = 0\);

2) \(6x — y + 8 = 0\) и \(y — 6z — 8 = 0\)?

Для первой пары плоскостей нормали: \(\vec{n_1} = (2, 5, -1)\), \(\vec{n_2} = (3, -2, -4)\).
Скалярное произведение: \(2 \cdot 3 + 5 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-4) = 6 — 10 + 4 = 0\).
Так как скалярное произведение равно нулю, плоскости перпендикулярны.

Для второй пары плоскостей нормали: \(\vec{n_1} = (6, -1, 0)\), \(\vec{n_2} = (0, 1, -6)\).
Скалярное произведение: \(6 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-6) = -1 \neq 0\).
Плоскости не перпендикулярны.

1) Для определения перпендикулярности плоскостей необходимо рассмотреть их нормальные векторы. Уравнение плоскости в общем виде \(Ax + By + Cz + D = 0\) задаёт нормаль к плоскости вектором \(\vec{n} = (A, B, C)\). Для первой плоскости \(2x + 5y — z + 7 = 0\) нормальный вектор равен \(\vec{n_1} = (2, 5, -1)\). Для второй плоскости \(3x — 2y — 4z — 9 = 0\) нормальный вектор равен \(\vec{n_2} = (3, -2, -4)\).

Перпендикулярность плоскостей эквивалентна ортогональности их нормальных векторов. Чтобы проверить это, вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\). Скалярное произведение считается по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \). Подставим значения: \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + 5 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-4) = 6 — 10 + 4 = 0 \).

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) перпендикулярны, следовательно, и плоскости взаимно перпендикулярны.

2) Аналогично для второй пары плоскостей: уравнения \(6x — y + 8 = 0\) и \(y — 6z — 8 = 0\) имеют нормальные векторы \(\vec{n_1} = (6, -1, 0)\) и \(\vec{n_2} = (0, 1, -6)\) соответственно.

Вычислим скалярное произведение: \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 6 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-6) = 0 — 1 + 0 = -1 \).

Так как скалярное произведение не равно нулю, нормали не перпендикулярны, и значит, плоскости не являются перпендикулярными.