ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите уравнение образа плоскости \(x — 2y + z — 1 = 0\):

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор \(\vec{a} (5; -2; -1)\).

Исходное уравнение плоскости: \(x — 2y + z — 1 = 0\).

При симметрии относительно начала координат заменяем \((x, y, z)\) на \((-x, -y, -z)\). Подставляем в уравнение: \((-x) — 2(-y) + (-z) — 1 = 0\), что даёт \(-x + 2y — z — 1 = 0\). Домножаем на \(-1\), получаем \(x — 2y + z + 1 = 0\).

При параллельном переносе на вектор \(\vec{a} = (5, -2, -1)\) новые координаты: \((x — 5, y + 2, z + 1)\). Подставляем: \((x — 5) — 2(y + 2) + (z + 1) — 1 = 0\), упрощаем до \(x — 2y + z — 9 = 0\).

Ответ: после симметрии \(x — 2y + z + 1 = 0\), после переноса \(x — 2y + z — 9 = 0\).

Рассмотрим уравнение плоскости \(x — 2y + z — 1 = 0\). Это уравнение задаёт множество точек \((x, y, z)\) в трёхмерном пространстве, которые удовлетворяют линейному соотношению между координатами. В данном случае коэффициенты при \(x\), \(y\), и \(z\) равны соответственно 1, -2 и 1, а свободный член равен -1. При преобразованиях с плоскостью нам важно понять, как изменятся координаты точек и как это повлияет на уравнение.

При симметрии относительно начала координат каждая точка пространства меняется на противоположную: координаты \(x\), \(y\), \(z\) заменяются на \(-x\), \(-y\), \(-z\) соответственно. Это означает, что если точка \((x, y, z)\) принадлежит исходной плоскости, то точка \((-x, -y, -z)\) будет принадлежать новой плоскости, образованной симметрией. Подставим новые координаты в исходное уравнение: \( (-x) — 2(-y) + (-z) — 1 = 0 \). Раскрывая скобки, получаем \(-x + 2y — z — 1 = 0\). Чтобы привести уравнение к более привычному виду, умножим обе части на \(-1\), что не меняет множества решений, и получим \(x — 2y + z + 1 = 0\). Таким образом, уравнение плоскости после симметрии относительно начала координат изменилось только в свободном члене, который теперь равен \(+1\).

При параллельном переносе на вектор \(\vec{a} = (5, -2, -1)\) каждая точка \((x, y, z)\) исходной плоскости смещается на величину вектора \(\vec{a}\), то есть новая точка получается по формуле \((x’, y’, z’) = (x — 5, y + 2, z + 1)\). Чтобы найти уравнение новой плоскости, подставим смещённые координаты в исходное уравнение: \((x — 5) — 2(y + 2) + (z + 1) — 1 = 0\). Раскроем скобки: \(x — 5 — 2y — 4 + z + 1 — 1 = 0\). Упростим выражение, собрав свободные члены: \(x — 2y + z — 9 = 0\). Таким образом, при параллельном переносе на заданный вектор уравнение плоскости изменяется только свободным членом, который становится равен \(-9\), а коэффициенты при переменных остаются неизменными.

Итог: при симметрии относительно начала координат уравнение плоскости становится \(x — 2y + z + 1 = 0\), а при параллельном переносе на вектор \(\vec{a} = (5, -2, -1)\) уравнение принимает вид \(x — 2y + z — 9 = 0\). В обоих случаях структура уравнения сохраняется, меняется только свободный член, что отражает сдвиг плоскости в пространстве. Эти преобразования показывают, как геометрические операции влияют на аналитическое описание плоскости.