ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите уравнение образа плоскости \(x + y — z + 3 = 0\) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом \(k = -2\).

При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом \(k = -2\) координаты точки преобразуются по правилу \( (x, y, z) \to (kx, ky, kz) \).

Исходное уравнение плоскости: \(x + y — z + 3 = 0\).

Подставим \(x = \frac{x’}{k}\), \(y = \frac{y’}{k}\), \(z = \frac{z’}{k}\), где \((x’, y’, z’)\) — новые координаты после гомотетии:

\(\frac{x’}{-2} + \frac{y’}{-2} — \frac{z’}{-2} + 3 = 0\).

Умножим всё уравнение на \(-2\):

\(x’ + y’ — z’ — 6 = 0\).

Ответ: уравнение образа плоскости при гомотетии

\(x + y — z — 6 = 0\).

1. При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом \(k\) каждая точка пространства с координатами \((x, y, z)\) переходит в точку с координатами \((x’, y’, z’)\), где \(x’ = kx\), \(y’ = ky\), \(z’ = kz\). Это означает, что все координаты умножаются на один и тот же коэффициент \(k\). В нашем случае \(k = -2\), значит, новая точка получается умножением каждой координаты исходной точки на \(-2\).

2. Исходное уравнение плоскости задано как \(x + y — z + 3 = 0\). Чтобы найти уравнение образа этой плоскости после гомотетии, нужно выразить исходные координаты через новые. Так как \(x’ = kx\), то \(x = \frac{x’}{k}\), аналогично \(y = \frac{y’}{k}\), \(z = \frac{z’}{k}\). Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости: \(\frac{x’}{k} + \frac{y’}{k} — \frac{z’}{k} + 3 = 0\).

3. Далее умножаем всё уравнение на \(k\), чтобы избавиться от знаменателей: \(x’ + y’ — z’ + 3k = 0\). Подставляя \(k = -2\), получаем уравнение \(x’ + y’ — z’ — 6 = 0\). Это и есть уравнение образа плоскости после гомотетии. Для удобства обозначим новые координаты просто как \(x, y, z\), тогда уравнение образа плоскости будет \(x + y — z — 6 = 0\).