ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение плоскости, параллельной оси аппликат, имеет вид \(ax + by + d = 0\). Какой вид имеет уравнение плоскости, параллельной:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат?

Плоскость параллельна оси \( z \), значит коэффициент при \( z \) равен нулю, и уравнение плоскости имеет вид \( ax + by + d = 0 \).

Если плоскость параллельна оси \( x \), то коэффициент при \( x \) равен нулю, и уравнение принимает вид \( by + cz + d = 0 \).

Если плоскость параллельна оси \( y \), то коэффициент при \( y \) равен нулю, и уравнение принимает вид \( ax + cz + d = 0 \).

Плоскость в пространстве задаётся уравнением общего вида \( ax + by + cz + d = 0 \), где \( a, b, c, d \) — некоторые постоянные коэффициенты. Если плоскость параллельна оси аппликат \( z \), это означает, что при движении вдоль оси \( z \) координаты точек плоскости не изменяются, то есть плоскость не зависит от переменной \( z \). Следовательно, коэффициент при \( z \) должен быть равен нулю: \( c = 0 \). Тогда уравнение плоскости принимает вид \( ax + by + d = 0 \), что и доказывает требуемое утверждение.

1) Если плоскость параллельна оси абсцисс \( x \), то при изменении \( x \) точки плоскости не выходят за её пределы, то есть уравнение плоскости не содержит переменную \( x \). Это значит, что коэффициент при \( x \) равен нулю: \( a = 0 \). Тогда уравнение плоскости имеет вид \( by + cz + d = 0 \). Здесь плоскость определяется только переменными \( y \) и \( z \), что соответствует параллельности оси \( x \).

2) Аналогично, если плоскость параллельна оси ординат \( y \), то при изменении \( y \) точки плоскости не выходят за её пределы, следовательно, переменная \( y \) отсутствует в уравнении. Это означает, что коэффициент при \( y \) равен нулю: \( b = 0 \). Тогда уравнение плоскости принимает вид \( ax + cz + d = 0 \), то есть плоскость определяется переменными \( x \) и \( z \), что соответствует параллельности оси \( y \).