ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки \(A (1; -2; 1)\) и \(B (4; 1; 3)\) параллельно оси \(y\).

Плоскость параллельна оси \(y\), значит уравнение имеет вид \(ax + cz + d = 0\).

Подставляем точки \(A(1; -2; 1)\) и \(B(4; 1; 3)\):

\(a + c + d = 0\)
\(4a + 3c + d = 0\)

Вычитаем первое из второго:

\(3a + 2c = 0 \Rightarrow a = -\frac{2}{3}c\)

Подставляем в первое уравнение:

\(-\frac{2}{3}c + c + d = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}c + d = 0 \Rightarrow d = -\frac{1}{3}c\)

Выбираем \(c = 3\), тогда \(a = -2\), \(d = -1\).

Уравнение плоскости: \(-2x + 3z — 1 = 0\) или \(2x — 3z + 1 = 0\).

Плоскость, проходящая через две точки \(A(1; -2; 1)\) и \(B(4; 1; 3)\), и параллельная оси \(y\), имеет уравнение вида \(ax + cz + d = 0\). Это связано с тем, что если плоскость параллельна оси \(y\), то коэффициент при \(y\) в уравнении плоскости равен нулю, так как изменение координаты \(y\) не влияет на выполнение уравнения. Таким образом, мы ищем уравнение, в котором нет переменной \(y\).

Подставляем координаты точек \(A\) и \(B\) в уравнение \(ax + cz + d = 0\). Для точки \(A(1; -2; 1)\) получаем: \(a \cdot 1 + c \cdot 1 + d = 0\), то есть \(a + c + d = 0\). Для точки \(B(4; 1; 3)\) подставляем: \(a \cdot 4 + c \cdot 3 + d = 0\), то есть \(4a + 3c + d = 0\). Таким образом, у нас есть система двух уравнений с тремя неизвестными \(a\), \(c\) и \(d\):

\(a + c + d = 0\)

\(4a + 3c + d = 0\)

Чтобы найти соотношения между коэффициентами, вычтем первое уравнение из второго: \((4a + 3c + d) — (a + c + d) = 0\), что дает \(3a + 2c = 0\). Отсюда выразим \(a\) через \(c\): \(3a = -2c\), значит \(a = -\frac{2}{3}c\).

Подставим найденное выражение для \(a\) в первое уравнение системы: \(-\frac{2}{3}c + c + d = 0\). Приведём к общему знаменателю: \(\frac{-2}{3}c + \frac{3}{3}c + d = 0\), что упрощается до \(\frac{1}{3}c + d = 0\). Отсюда выражаем \(d\): \(d = -\frac{1}{3}c\).

Для удобства выберем \(c = 3\), чтобы избавиться от дробей. Тогда \(a = -2\), \(c = 3\), \(d = -1\). Подставляя эти значения в уравнение плоскости, получаем: \(-2x + 3z — 1 = 0\). Можно умножить уравнение на \(-1\), чтобы получить более привычный вид: \(2x — 3z + 1 = 0\). Это и есть уравнение искомой плоскости, проходящей через точки \(A\) и \(B\) и параллельной оси \(y\).