ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки \(A (1; -2; 1)\) и \(B (4; 1; 3)\) параллельно оси \(y\).

Плоскость параллельна оси \(x\), значит её нормальный вектор \(\vec{n} = (0; b; c)\). Уравнение плоскости имеет вид \(by + cz + d = 0\).

Подставляем точки \(C(-2; 0; 1)\) и \(D(1; 5; 0)\):

\(c + d = 0\), \(5b + d = 0\).

Решаем систему:

\(d = -c\), \(5b — c = 0 \Rightarrow c = 5b\), \(d = -5b\).

Уравнение плоскости: \(by + 5bz — 5b = 0\).

Делим на \(b\), получаем \(y + 5z — 5 = 0\).

Для составления уравнения плоскости, проходящей через две заданные точки \(C(-2; 0; 1)\) и \(D(1; 5; 0)\), и параллельной оси \(x\), нужно понять, что означает параллельность оси \(x\). Ось \(x\) задаётся направляющим вектором \(\vec{i} = (1; 0; 0)\). Если плоскость параллельна этой оси, то её нормальный вектор должен быть перпендикулярен вектору \(\vec{i}\). Это значит, что первая координата нормального вектора равна нулю, то есть нормальный вектор имеет вид \(\vec{n} = (0; b; c)\).

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором \(\vec{n} = (0; b; c)\) выглядит как \(0 \cdot x + by + cz + d = 0\), или проще \(by + cz + d = 0\). Чтобы найти коэффициенты \(b\), \(c\) и \(d\), подставим координаты точек \(C\) и \(D\) в это уравнение. Подстановка точки \(C(-2; 0; 1)\) даёт уравнение \(b \cdot 0 + c \cdot 1 + d = 0\), то есть \(c + d = 0\). Подстановка точки \(D(1; 5; 0)\) даёт \(b \cdot 5 + c \cdot 0 + d = 0\), то есть \(5b + d = 0\).

Теперь решаем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
c + d = 0 \\
5b + d = 0
\end{cases}
\]

Из первого уравнения выразим \(d = -c\). Подставим это во второе уравнение: \(5b — c = 0\), откуда \(c = 5b\). Подставляем обратно в выражение для \(d\): \(d = -5b\). Таким образом, уравнение плоскости принимает вид \(by + 5bz — 5b = 0\). Делим всё уравнение на \(b\) (при условии, что \(b \neq 0\)) и получаем окончательное уравнение плоскости:

\(y + 5z — 5 = 0\).

Это уравнение описывает плоскость, которая проходит через точки \(C\) и \(D\) и параллельна оси \(x\), поскольку её нормальный вектор перпендикулярен оси \(x\), а сама плоскость содержит обе заданные точки.