ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите расстояние от точки \(A (1; 2; -3)\) до плоскости \(x + 3y + 2z — 29 = 0\).

Для вычисления расстояния от точки \( A(1; 2; -3) \) до плоскости \( x + 3y + 2z — 29 = 0 \) используем формулу \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).

Подставляем значения: \( A=1 \), \( B=3 \), \( C=2 \), \( D=-29 \), \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \). Считаем числитель: \( |1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) — 29| = |-28| = 28 \).

Вычисляем знаменатель: \( \sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{14} \). Таким образом, расстояние равно \( d = \frac{28}{\sqrt{14}} = 2 \sqrt{14} \).

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \), где \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \) — коэффициенты уравнения плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \), а \( (x_0, y_0, z_0) \) — координаты точки. В нашем случае уравнение плоскости задано как \( x + 3y + 2z — 29 = 0 \), значит \( A = 1 \), \( B = 3 \), \( C = 2 \), \( D = -29 \). Точка \( A \) имеет координаты \( (1; 2; -3) \).

Для начала подставим координаты точки и коэффициенты плоскости в числитель формулы: \( 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) — 29 \). Считаем по шагам: \( 1 \cdot 1 = 1 \), \( 3 \cdot 2 = 6 \), \( 2 \cdot (-3) = -6 \). Складываем: \( 1 + 6 — 6 = 1 \), затем вычитаем 29: \( 1 — 29 = -28 \). По модулю получаем \( |-28| = 28 \).

Теперь вычислим знаменатель — длину нормального вектора плоскости, который равен \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} \). Возводим в квадрат: \( 1^2 = 1 \), \( 3^2 = 9 \), \( 2^2 = 4 \). Складываем: \( 1 + 9 + 4 = 14 \). Извлекаем корень: \( \sqrt{14} \). Подставляем числитель и знаменатель в формулу: \( d = \frac{28}{\sqrt{14}} \). Упрощаем дробь, умножая числитель и знаменатель на \( \sqrt{14} \), получаем \( d = \frac{28 \sqrt{14}}{14} = 2 \sqrt{14} \).

Таким образом, расстояние от точки \( A(1; 2; -3) \) до плоскости \( x + 3y + 2z — 29 = 0 \) равно \( 2 \sqrt{14} \). Это значение показывает кратчайшее расстояние между точкой и плоскостью, то есть длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.