ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите расстояние от начала координат до плоскости \(2x — y + 5z + 15 = 0\).

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле \(p = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\).

Для плоскости \(2x — y + 5z + 15 = 0\) коэффициенты равны \(A=2\), \(B=-1\), \(C=5\), \(D=15\), а точка — начало координат \((0,0,0)\).

Подставляем: \(p = \frac{|2 \cdot 0 — 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 15|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2}} = \frac{15}{\sqrt{30}} = \frac{15 \sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{2}\).

Для нахождения расстояния от точки до плоскости используется формула

\(p = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\),

где \(A\), \(B\), \(C\) — коэффициенты при \(x\), \(y\), \(z\) в уравнении плоскости, \(D\) — свободный член, а \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты точки, от которой нужно найти расстояние. В нашем случае плоскость задана уравнением \(2x — y + 5z + 15 = 0\), значит \(A=2\), \(B=-1\), \(C=5\), \(D=15\). Точка — начало координат, то есть \(x_0=0\), \(y_0=0\), \(z_0=0\).

Подставим значения в формулу:

\(p = \frac{|2 \cdot 0 — 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 15|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2}} = \frac{|15|}{\sqrt{4 + 1 + 25}} = \frac{15}{\sqrt{30}}\).

Далее упростим знаменатель. Корень из суммы квадратов равен \(\sqrt{30}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{30}\), получим

\(p = \frac{15 \sqrt{30}}{30}\).

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15, в итоге получаем

\(p = \frac{\sqrt{30}}{2}\).

Таким образом, расстояние от начала координат до плоскости \(2x — y + 5z + 15 = 0\) равно \(\frac{\sqrt{30}}{2}\).