ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите расстояние от начала координат до плоскости \(2x — y + 5z + 15 = 0\).

Вычисляем векторы \(\overrightarrow{AB} = (4 — 1; 1 — 2; 2 — 3) = (3; -1; -1)\) и \(\overrightarrow{AC} = (2 — 1; -1 — 2; 1 — 3) = (1; -3; -2)\).

Находим векторное произведение \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-1; 5; -8)\), которое является нормалью к плоскости.

Записываем уравнение плоскости через точку \(A(1; 2; 3)\) и нормаль \(\overrightarrow{n}\): \(-1(x — 1) + 5(y — 2) — 8(z — 3) = 0\), упрощаем до \(x — 5y + 8z — 15 = 0\).

Для начала необходимо определить два вектора, лежащих в плоскости, которая проходит через три заданные точки \(A(1; 2; 3)\), \(B(4; 1; 2)\) и \(C(2; -1; 1)\). Векторы можно получить вычитанием координат точек: \(\overrightarrow{AB} = (x_B — x_A; y_B — y_A; z_B — z_A)\) и \(\overrightarrow{AC} = (x_C — x_A; y_C — y_A; z_C — z_A)\). Подставляя значения, получаем \(\overrightarrow{AB} = (4 — 1; 1 — 2; 2 — 3) = (3; -1; -1)\) и \(\overrightarrow{AC} = (2 — 1; -1 — 2; 1 — 3) = (1; -3; -2)\). Эти два вектора лежат в плоскости, поэтому их векторное произведение даст вектор, перпендикулярный плоскости.

Следующий шаг — найти векторное произведение \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\), которое будет нормалью к плоскости. Для этого используем определитель матрицы третьего порядка:

\(\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & -2 \end{vmatrix}\).

Вычисляем по формуле:

\(n_x = (-1)(-2) — (-1)(-3) = 2 — 3 = -1\),

\(n_y = — (3(-2) — (-1)(1)) = — (-6 + 1) = 5\),

\(n_z = 3(-3) — (-1)(1) = -9 + 1 = -8\).

Таким образом, нормальный вектор к плоскости равен \(\overrightarrow{n} = (-1; 5; -8)\).

Теперь, зная нормаль и точку \(A(1; 2; 3)\), можно записать уравнение плоскости в виде: \(n_x (x — x_A) + n_y (y — y_A) + n_z (z — z_A) = 0\). Подставляем значения: \(-1(x — 1) + 5(y — 2) — 8(z — 3) = 0\). Раскрываем скобки: \(-x + 1 + 5y — 10 — 8z + 24 = 0\), упрощаем: \(-x + 5y — 8z + 15 = 0\). Для удобства умножаем на \(-1\), получаем окончательное уравнение плоскости: \(x — 5y + 8z — 15 = 0\).