ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору \(\vec{m} (-8; 4; 12)\).

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору \(\vec{m}(-8; 4; 12)\), имеет вид:

\((-8)x + 4y + 12z = 0\).

Это уравнение плоскости, так как нормальный вектор к плоскости совпадает с вектором \(\vec{m}\), а плоскость проходит через точку \((0,0,0)\).

Плоскость в пространстве можно задать уравнением вида \(Ax + By + Cz + D = 0\), где вектор \(\vec{n} = (A, B, C)\) является нормальным вектором к этой плоскости. Нормальный вектор перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости. В данном случае нам дан вектор \(\vec{m} = (-8; 4; 12)\), который должен быть перпендикулярен плоскости. Значит, этот вектор и есть нормаль к искомой плоскости, то есть \(A = -8\), \(B = 4\), \(C = 12\).

Поскольку плоскость должна проходить через начало координат, это точка с координатами \((0, 0, 0)\). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости, получаем: \(-8 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + D = 0\), откуда следует, что \(D = 0\). Таким образом, уравнение плоскости принимает вид \(-8x + 4y + 12z = 0\).

Это уравнение полностью описывает плоскость, которая содержит начало координат и перпендикулярна вектору \(\vec{m}\). Если рассмотреть любой вектор \(\vec{v}\), лежащий в этой плоскости, то скалярное произведение \(\vec{m} \cdot \vec{v} = 0\), что подтверждает перпендикулярность. Таким образом, уравнение плоскости записывается как \((-8)x + 4y + 12z = 0\).