ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро которого равно 4 см. Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AD\) и \(BB_1\) соответственно. На ребре \(CD\) отметили точку \(E\), а на его продолжении за точку \(D\) — точку \(F\), так, что \(DE = 1\) см, а точка \(D\) — середина отрезка \(CF\). Докажите, что прямая \(KF\) перпендикулярна плоскости \(MD_1E\).

Пусть куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром 4 см.

Координаты точек:
\(A(0,0,0)\), \(B(4,0,0)\), \(C(4,4,0)\), \(D(0,4,0)\),
\(A_1(0,0,4)\), \(B_1(4,0,4)\), \(C_1(4,4,4)\), \(D_1(0,4,4)\).

Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AD\) и \(BB_1\):
\(M = (0,2,0)\), \(K = (4,0,2)\).

Точка \(E\) на ребре \(CD\), \(DE=1\), значит \(E = (1,4,0)\).

Точка \(F\) на продолжении \(CD\) за \(D\), при этом \(D\) — середина \(CF\), значит \(F = (-4,4,0)\).

Векторы плоскости \(MD_1E\):
\(\overrightarrow{MD_1} = (0,2,4)\),
\(\overrightarrow{ME} = (1,2,0)\).

Нормаль к плоскости:
\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{MD_1} \times \overrightarrow{ME} = (-8,4,-2)\).

Вектор \(KF = F — K = (-8,4,-2)\).

Так как \(\overrightarrow{KF}\) совпадает с \(\overrightarrow{n}\), то \(KF \perp MD_1E\).

Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром длиной 4 см. Для удобства введём систему координат так, чтобы точка \(A\) была в начале координат, а ребра куба лежали вдоль осей координат:
\(A = (0,0,0)\),
\(B = (4,0,0)\),
\(C = (4,4,0)\),
\(D = (0,4,0)\),
\(A_1 = (0,0,4)\),
\(B_1 = (4,0,4)\),
\(C_1 = (4,4,4)\),
\(D_1 = (0,4,4)\).

Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AD\) и \(BB_1\) соответственно. Тогда координаты этих точек:
\(M\) — середина \(AD\), значит \(M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0,2,0)\).
\(K\) — середина \(BB_1\), значит \(K = \left(\frac{4+4}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (4,0,2)\).

Точка \(E\) лежит на ребре \(CD\) так, что \(DE = 1\) см. Поскольку \(C = (4,4,0)\), \(D = (0,4,0)\), то \(CD\) направлен вдоль оси \(x\) от \(C\) к \(D\). Длина ребра \(CD = 4\). Точка \(E\) находится на отрезке \(CD\), отступив от \(D\) на 1 см, значит:
\(E = (0+1,4,0) = (1,4,0)\).

Точка \(F\) лежит на продолжении \(CD\) за точку \(D\), при этом \(D\) — середина отрезка \(CF\). Так как \(D = (0,4,0)\), \(C = (4,4,0)\), то
\(D  = (-4,4,0)\).

Теперь рассмотрим плоскость \(MD_1E\). Найдём векторы, лежащие в этой плоскости:
\(\overrightarrow{MD_1} = D_1 — M = (0,4,4) — (0,2,0) = (0,2,4)\),
\(\overrightarrow{ME} = E — M = (1,4,0) — (0,2,0) = (1,2,0)\).

Найдём вектор нормали к плоскости \(MD_1E\) как векторное произведение:
\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{MD_1} \times \overrightarrow{ME} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 — 4 \cdot 2) — \mathbf{j}(0 \cdot 0 — 4 \cdot 1) +\)
\(+ \mathbf{k}(0 \cdot 2 — 2 \cdot 1) = (-8,4,-2)\).

Вектор \(KF = F — K = (-4,4,0) — (4,0,2) = (-8,4,-2)\).

Так как вектор \(KF\) совпадает с вектором нормали \(\overrightarrow{n}\), то прямая \(KF\) перпендикулярна плоскости \(MD_1E\).