ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что прямая \(A_1C\) перпендикулярна плоскости \(AB_1D_1\).

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) рассмотрим прямую \(A_1C\) и плоскость \(AB_1D_1\).

1. Отметим, что \(A_1D_1 \perp CD_1\) и \(CD_1 \perp A_1C\), значит \(A_1D_1 \perp A_1C\).

2. Аналогично, \(A_1B_1 \perp BC\) и \(BC \perp AC\), следовательно, \(A_1B_1 \perp A_1C\).

3. Поскольку \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) лежат в плоскости \(AB_1D_1\) и обе перпендикулярны \(A_1C\), то \(A_1C \perp\) плоскости \(AB_1D_1\).

Ответ: \(A_1C \perp AB_1D_1\).

Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Нам нужно доказать, что прямая \( A_1C \) перпендикулярна плоскости \( AB_1D_1 \). Для этого достаточно показать, что прямая \( A_1C \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости \( AB_1D_1 \).

1. В плоскости \( AB_1D_1 \) выберем две прямые: \( A_1B_1 \) и \( A_1D_1 \). Они пересекаются в точке \( A_1 \), и обе лежат в плоскости \( AB_1D_1 \). Теперь докажем, что прямая \( A_1C \) перпендикулярна каждой из них.

2. Рассмотрим прямую \( A_1D_1 \). В кубе ребра, исходящие из одной вершины и направленные вдоль осей, взаимно перпендикулярны. Так как \( A_1D_1 \) — ребро куба, а \( A_1C \) — диагональ грани \( A_1B_1C_1D_1 \), то \( A_1D_1 \perp A_1C \). Это следует из того, что диагональ квадрата перпендикулярна ребру, если ребро и диагональ исходят из одной вершины и ребро лежит на стороне квадрата.

3. Аналогично рассмотрим прямую \( A_1B_1 \). Она также является ребром куба, исходящим из точки \( A_1 \). Прямая \( A_1C \) лежит в другой грани, но так как в кубе все ребра взаимно перпендикулярны, а \( A_1C \) — диагональ, которая перпендикулярна ребрам, то \( A_1B_1 \perp A_1C \).

Таким образом, прямая \( A_1C \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( A_1B_1 \) и \( A_1D_1 \), которые лежат в плоскости \( AB_1D_1 \). Следовательно, по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая \( A_1C \) перпендикулярна плоскости \( AB_1D_1 \).

Ответ: \( A_1C \perp AB_1D_1 \).