ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра \(AD\), \(AB\) и \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равны соответственно 3 см, 6 см и 12 см. Точка \(M\) принадлежит отрезку \(CA_1\) и делит его в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\). Плоскость \(\alpha\), проходящая через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(CA_1\), пересекает прямую \(AA_1\) в точке \(K\). Найдите отрезок \(AK\).

Найдём точку \(M\), делящую \(CA_1\) в отношении \(1:2\) от \(C\): \(C(6,3,0)\), \(A_1(0,0,12)\). По формуле внутреннего деления \(M=\left(\frac{2\cdot 6+1\cdot 0}{3},\frac{2\cdot 3+1\cdot 0}{3},\frac{2\cdot 0+1\cdot 12}{3}\right)=(4,2,4)\). Вектор нормали плоскости \(\alpha\), перпендикулярной \(CA_1\), равен \(\overrightarrow{CA_1}=(-6,-3,12)\).

Уравнение плоскости через точку \(M\) и нормаль \((-6,-3,12)\): \(-6(x-4)-3(y-2)+12(z-4)=0\), что даёт \(-6x-3y+12z-18=0\). Прямая \(AA_1\): \(x=0\), \(y=0\), \(z=t\). Подстановка даёт \(-6\cdot 0-3\cdot 0+12t-18=0\Rightarrow 12t=18\Rightarrow t=\frac{3}{2}\).

Точка пересечения \(K\left(0,0,\frac{3}{2}\right)\). Длина \(AK=\left|\frac{3}{2}-0\right|=\frac{3}{2}\) см.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед (или прямоугольную призму), вершины которого заданы координатами \(A(0,0,0)\), \(B(6,0,0)\), \(D(0,3,0)\), \(A_1(0,0,12)\). Точка \(C\) как вершина основания определяется как сумма векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) от точки \(A\), поэтому её координаты равны \(C(6,3,0)\). Диагональ боковой грани \(CA_1\) соединяет точки \(C(6,3,0)\) и \(A_1(0,0,12)\). Точка \(M\) делит отрезок \(CA_1\) в отношении \(1:2\), считая от \(C\), то есть \(CM:MA_1=1:2\). По формуле деления отрезка в заданном отношении получаем координаты точки \(M\): \(M=\left(\frac{2\cdot 6+1\cdot 0}{3},\;\frac{2\cdot 3+1\cdot 0}{3},\;\frac{2\cdot 0+1\cdot 12}{3}\right)=(4,2,4)\). Вектор направления от \(C\) к \(A_1\) равен \(\overrightarrow{CA_1}=A_1-C=(0-6,\;0-3,\;12-0)=(-6,-3,12)\). Этот вектор задаёт нормаль искомой плоскости \(\alpha\), поскольку \(\alpha\) перпендикулярна отрезку \(CA_1\).

Чтобы записать уравнение плоскости \(\alpha\), используем точку \(M(4,2,4)\) и нормальный вектор \(\mathbf{n}=(-6,-3,12)\). Каноническая форма уравнения плоскости через точку и нормаль задаётся выражением \(\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0\), что в координатной форме выглядит как \(-6(x-4)-3(y-2)+12(z-4)=0\). Раскроем скобки и приведём подобные члены: \(-6x+24-3y+6+12z-48=0\), откуда получаем упрощённое уравнение \(-6x-3y+12z-18=0\). Для удобства можно разделить на \(-3\), но это не обязательно, так как любое ненулевое скалярное умножение нормали даёт эквивалентную плоскость; оставим уравнение в исходном приведённом виде для согласованности дальнейших подстановок.

Прямая \(AA_1\) вертикальна и проходит через точки \(A(0,0,0)\) и \(A_1(0,0,12)\). Её параметрическое задание удобно представить как \(x=0\), \(y=0\), \(z=t\), где \(t\) — параметр, пробегающий все действительные значения. Для нахождения точки пересечения \(K=\alpha\cap AA_1\) подставим координаты прямой в уравнение плоскости: \(-6\cdot 0-3\cdot 0+12t-18=0\). Отсюда \(12t=18\), следовательно, \(t=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}\). Значит, точка пересечения имеет координаты \(K\left(0,0,\frac{3}{2}\right)\). Поскольку \(A(0,0,0)\) и \(K\) лежат на одной вертикальной прямой, длина отрезка \(AK\) равна разности их \(z\)-координат по модулю, то есть \(AK=\left|\frac{3}{2}-0\right|=\frac{3}{2}\). Таким образом, расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) по прямой \(AA_1\) равно \(\frac{3}{2}\) см, а сама точка \(K\) на \(AA_1\), где плоскость \(\alpha\) её пересекает, имеет координаты \(K\left(0,0,\frac{3}{2}\right)\).