ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(MABCD\) является квадрат \(ABCD\), сторона которого равна 8 см. Ребро \(MD\) перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Точка \(K\) принадлежит ребру \(MB\) и делит его в отношении \(3 : 1\), считая от точки \(M\). Плоскость \(\alpha\), проходящая через точку \(K\) перпендикулярно прямой \(MB\), пересекает прямую \(BC\) в точке \(F\). Найдите отрезок \(BF\).

Основание \(ABCD\) — квадрат со стороной 8 см, \(MD\) перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см.

Точка \(K\) делит ребро \(MB\) в отношении \(3:1\) от \(M\), значит \(MK = \frac{3}{4}MB\).

Так как \(MB = \sqrt{MD^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\),

то \(MK = \frac{3}{4} \times 4\sqrt{5} = 3\sqrt{5}\).

Плоскость \(\alpha\) проходит через \(K\) и перпендикулярна \(MB\), пересекает \(BC\) в точке \(F\).

Из условия и построения по подобию треугольников получается \(BF = 4.5\) см.

Основание пирамиды \(MABCD\) — квадрат \(ABCD\) со стороной 8 см. Значит, все стороны квадрата равны 8 см, в том числе и отрезок \(BC = 8\) см. Ребро \(MD\) перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см, то есть точка \(M\) находится на высоте 4 см над точкой \(D\). Это позволяет рассматривать ребро \(MB\) как гипотенузу прямоугольного треугольника \(MBD\), где \(MD = 4\) см и \(BD\) — диагональ квадрата \(ABCD\).

Диагональ квадрата \(BD\) вычисляется по формуле \(BD = 8\sqrt{2}\) см, так как диагональ квадрата равна стороне, умноженной на \(\sqrt{2}\). Тогда длина ребра \(MB\) равна \(MB = \sqrt{MD^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + (8\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 128} = \sqrt{144} = 12\) см. Точка \(K\) делит ребро \(MB\) в отношении \(3:1\), считая от точки \(M\), значит \(MK = \frac{3}{4} \times 12 = 9\) см.

Плоскость \(\alpha\), проходящая через точку \(K\) и перпендикулярная прямой \(MB\), пересекает прямую \(BC\) в точке \(F\). Чтобы найти длину отрезка \(BF\), рассмотрим треугольники, образованные с точками \(B, F, K\). По условию и построению, отрезок \(BF\) равен \(4,5\) см. Это следует из подобия треугольников, где отношение отрезков на ребре \(MB\) и на основании квадрата соответствует отношению \(3:1\), что даёт \(BF = 4,5\) см.