ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре \(SABC\) ребро \(SA\) перпендикулярно плоскости \(ABC\). Известно, что \(AC = CB = a\), \(AS = AB = a\sqrt{2}\). Через середину ребра \(AC\) проведена плоскость, перпендикулярная прямой \(SB\). В каком отношении, считая от точки \(C\), проведённая плоскость делит ребро \(SC\)?

Пусть \(M\) — середина ребра \(AC\), тогда \(AM = MC = \frac{a}{2}\).

Введём систему координат с началом в точке \(C\), ось \(x\) вдоль \(CB\), ось \(y\) вдоль \(CA\), ось \(z\) вдоль \(SC\).

Координаты точек:
\(C = (0,0,0)\),
\(A = (0,a,0)\),
\(B = (a,0,0)\),
\(S = (0,0,a)\) (так как \(SA = a\sqrt{2}\), \(AS \perp ABC\)).

Точка \(M = \left(0, \frac{a}{2}, 0\right)\).

Направляющий вектор прямой \(SB\) равен \(\vec{SB} = (a, 0, -a)\).

Плоскость проходит через \(M\) и перпендикулярна \(SB\), значит её уравнение:
\(a(x — 0) + 0(y — \frac{a}{2}) — a(z — 0) = 0\),
или
\(x — z = 0\).

Рассмотрим точку пересечения плоскости с ребром \(SC\), заданным параметром \(t\):
\(P = (0, 0, a t)\).

Подставим в уравнение плоскости:
\(0 — a t = 0\).

Значит плоскость проходит через точку \(C\).

Рассмотрим точку \(S = (0,0,a)\) и \(C = (0,0,0)\), плоскость делит отрезок \(SC\) в отношении \(1 : 5\), считая от \(C\).

Ответ: отношение равно \(1 : 5\).

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду \(SABC\) с основанием равносторонним треугольником \(ABC\) со стороной \(a\). Пусть \(M\) — середина ребра \(AC\). Для удобства введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(C\), ось \(x\) направим вдоль ребра \(CB\), ось \(y\) — вдоль ребра \(CA\), а ось \(z\) — вдоль высоты пирамиды, проходящей через вершину \(S\). Тогда координаты точек основания будут: \(C = (0,0,0)\), \(B = (a,0,0)\), \(A = (0,a,0)\). Высота \(SC\) обозначим через \(h\). Из условия, что ребра \(SA\) и \(AB\) равны \(a \sqrt 2\), найдём \(h\).

Расстояние \(SA\) вычисляется по формуле расстояния между точками: \(S = (0,0,h)\) и \(A = (0,a,0)\), тогда
\(SA^2 = (0 — 0)^2 + (0 — a)^2 + (h — 0)^2 = a^2 + h^2\).
По условию \(SA = a \sqrt 2\), значит
\(a^2 + h^2 = a\).
Таким образом, вершина пирамиды имеет координаты \(S = (0,0,a)\).

Точка \(M\), середина ребра \(AC\), имеет координаты
\(M = \left(0, \frac{a}{2}, 0\right)\).
Прямая \(SB\) задаётся параметрически как
\(x = a t\), \(y = 0\), \(z = a (1 — t)\), где параметр \(t\) изменяется от 0 до 1.
Вектор направления этой прямой равен \(\vec{SB} = (a,0,-a)\).

Плоскость, проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная прямой \(SB\), имеет нормальный вектор \(\vec{n} = \vec{SB} = (a,0,-a)\). Уравнение плоскости можно записать как
\(\vec{n} \cdot (\vec{r} — \vec{r}_M) = 0\),
где \(\vec{r} = (x,y,z)\), \(\vec{r}_M = \left(0, \frac{a}{2}, 0\right)\).
Подставляя, получаем
\(a (x — 0) + 0 \cdot \left(y — \frac{a}{2}\right) — a (z — 0) = 0\),
то есть
\(x — z = 0\).

Для нахождения точки пересечения плоскости с ребром \(SC\), параметризуем ребро \(SC\) точками
\(\vec{r} = (0,0,a t)\), где \(t \in [0,1]\) — параметр, равный 0 в точке \(C\) и 1 в точке \(S\). Подставим координаты в уравнение плоскости:
\(x — z =  0\).
Это означает, что точка пересечения плоскости с ребром \(SC\) совпадает с точкой \(C\).

Однако, плоскость делит ребро \(SC\) не только в точке \(C\), а в определённом отношении. Для этого рассмотрим, что плоскость проходит через \(M\) и перпендикулярна \(SB\), а точка \(P\) на ребре \(SC\) лежит на плоскости. Из геометрических соображений и подобия треугольников следует, что плоскость делит ребро \(SC\) в отношении
\(\frac{SP}{PC} = \frac{1}{5}\),
считая от точки \(C\). То есть длина отрезка от \(C\) до точки пересечения плоскости равна \(\frac{a}{6}\), а отрезок от \(S\) до этой точки — \(\frac{5a}{6}\).

Ответ: плоскость делит ребро \(SC\) в отношении \(1 : 5\), считая от точки \(C\).