ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является ромб \(ABCD\), сторона которого равна 1 см. Известно, что \(\angle BAC = 60^\circ\), \(AA_1 = 4\) см. Точка \(M\) принадлежит отрезку \(AC_1\) и делит его в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(A\). Плоскость \(\alpha\), проходящая через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(AC_1\), пересекает прямую \(BB_1\) в точке \(P\). Найдите отрезок \(BP\).

Пусть \( A = (0,0,0) \), \( B = (1,0,0) \), \( C = (\cos \theta, \sin \theta, 0) \), где \( \theta = \arccos \frac{5}{6} \).

Тогда \( C_1 = (\cos \theta, \sin \theta, 4) \).

Точка \( M \) делит \( AC_1 \) в отношении \( 1:2 \), значит \( M = \left(\frac{\cos \theta}{3}, \frac{\sin \theta}{3}, \frac{4}{3}\right) \).

Нормаль к плоскости \( \alpha \) равна \( \overrightarrow{AC_1} = (\cos \theta, \sin \theta, 4) \).

Уравнение плоскости: \( \cos \theta (x — \frac{\cos \theta}{3}) + \sin \theta (y — \frac{\sin \theta}{3}) + 4 (z — \frac{4}{3}) = 0 \).

Прямая \( BB_1: x=1, y=0, z=t \).

Подставляем в уравнение плоскости:

\( \cos \theta \left(1 — \frac{\cos \theta}{3}\right) + \sin \theta \left(0 — \frac{\sin \theta}{3}\right) + 4 \left(t — \frac{4}{3}\right) = 0 \).

Используя \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), получаем

\( 4t = \frac{17}{3} — \cos \theta \).

Подставляя \( \cos \theta = \frac{5}{6} \), находим

\( t = \frac{29}{24} \).

Длина отрезка \( BP = t = \frac{29}{24} \).

Пусть начальная точка \( A \) имеет координаты \( (0,0,0) \), а точка \( B \) расположена на оси \( x \) с координатами \( (1,0,0) \), так как сторона ромба равна 1. Для определения координат точки \( C \) используем угол \( \theta = \arccos \frac{5}{6} \), который задаёт угол \( \angle BAC \). Тогда координаты \( C \) будут \( (\cos \theta, \sin \theta, 0) \). Верхняя точка \( C_1 \), соответствующая \( C \), смещена по высоте на 4 единицы, поэтому её координаты \( (\cos \theta, \sin \theta, 4) \).

Точка \( M \) лежит на отрезке \( AC_1 \) и делит его в отношении \( 1:2 \) от \( A \). Чтобы найти координаты \( M \), вычисляем вектор \( \overrightarrow{AC_1} = (\cos \theta, \sin \theta, 4) \) и берём треть его длины, так как отношение деления равно \( 1:2 \), то есть \( M = A + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC_1} \). Следовательно, \( M = \left(\frac{\cos \theta}{3}, \frac{\sin \theta}{3}, \frac{4}{3}\right) \).

Плоскость \( \alpha \) проходит через точку \( M \) и перпендикулярна прямой \( AC_1 \), значит нормальный вектор плоскости совпадает с вектором \( \overrightarrow{AC_1} = (\cos \theta, \sin \theta, 4) \). Уравнение плоскости записывается как \( \cos \theta (x — \frac{\cos \theta}{3}) + \sin \theta (y — \frac{\sin \theta}{3}) + 4 (z — \frac{4}{3}) = 0 \).

Прямая \( BB_1 \) задаётся параметрически: \( x = 1 \), \( y = 0 \), \( z = t \), где \( t \) — параметр, измеряющий высоту вдоль оси \( z \). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости, получаем уравнение для \( t \): \( \cos \theta (1 — \frac{\cos \theta}{3}) + \sin \theta (0 — \frac{\sin \theta}{3}) + 4 (t — \frac{4}{3}) = 0 \).

Используя тождество \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), упрощаем выражение: \( \cos \theta — \frac{\cos^2 \theta}{3} — \frac{\sin^2 \theta}{3} + 4t — \frac{16}{3} = 0 \), что преобразуется в \( \cos \theta — \frac{1}{3} + 4t — \frac{16}{3} = 0 \). Отсюда находим \( 4t = \frac{17}{3} — \cos \theta \), или \( t = \frac{17 — 3 \cos \theta}{12} \).

Подставляя значение \( \cos \theta = \frac{5}{6} \), вычисляем \( t = \frac{17 — 3 \cdot \frac{5}{6}}{12} = \frac{17 — \frac{15}{6}}{12} = \frac{17 — 2.5}{12} = \frac{14.5}{12} = \frac{29}{24} \). Таким образом, длина отрезка \( BP \), равная \( t \), равна \( \frac{29}{24} \).