ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является параллелограмм \(ABCD\) такой, что \(\angle BAD = 60^\circ\). Известно, что \(AB = AA_1 = a\), \(AD = 2a\). Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(AB_1D_1\).

Даны точки \( B_1(1;1;1) \), \( M(0;0;\frac{1}{3}) \), \( N(1;\frac{1}{4};0) \), \( O(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}) \).

Векторы плоскости \( MON \):
\( \overrightarrow{MO} = (\frac{1}{2};0;\frac{1}{6}) \),
\( \overrightarrow{MN} = (1;\frac{1}{4};-\frac{1}{3}) \).

Вектор нормали \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{MO} \times \overrightarrow{MN} = (-\frac{1}{8}; \frac{2}{3}; \frac{1}{8}) \).

Вектор \( \overrightarrow{B_1M} = (-1;-1;\frac{2}{3}) \).

Скалярное произведение \( \overrightarrow{B_1M} \cdot \overrightarrow{n} = -\frac{11}{24} \).

Длина \( \overrightarrow{n} = \sqrt{(-\frac{1}{8})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{8})^2} = \frac{\sqrt{170}}{24} \).

Расстояние \( \rho = \frac{|\overrightarrow{B_1M} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{\frac{11}{24}}{\frac{\sqrt{170}}{24}} = \frac{11}{\sqrt{170}} = \frac{11 \sqrt{170}}{170} \) см.

Для нахождения расстояния от точки \( B_1 \) до плоскости \( MON \) сначала необходимо определить уравнение этой плоскости. Для этого нам нужны координаты точек \( M \), \( O \) и \( N \), которые лежат в плоскости. После этого вычисляем векторы \( \overrightarrow{MO} \) и \( \overrightarrow{MN} \), которые лежат в плоскости, вычитая координаты соответствующих точек. Векторы будут равны \( \overrightarrow{MO} = \left(\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2} — \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{6}\right) \) и \( \overrightarrow{MN} = (1 — 0; \frac{1}{4} — 0; 0 — \frac{1}{3}) = (1; \frac{1}{4}; -\frac{1}{3}) \).

Далее находим вектор нормали к плоскости \( MON \) как векторное произведение \( \overrightarrow{MO} \times \overrightarrow{MN} \). Вычисляем компоненты нормали по формуле:
\( n_x = MO_y \cdot MN_z — MO_z \cdot MN_y = 0 \cdot (-\frac{1}{3}) — \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{24} \),
\( n_y = MO_z \cdot MN_x — MO_x \cdot MN_z = \frac{1}{6} \cdot 1 — \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \),
\( n_z = MO_x \cdot MN_y — MO_y \cdot MN_x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} — 0 \cdot 1 = \frac{1}{8} \).
Таким образом, вектор нормали \( \overrightarrow{n} = \left(-\frac{1}{24}; \frac{1}{3}; \frac{1}{8}\right) \).

Следующим шагом является нахождение вектора \( \overrightarrow{B_1M} \), соединяющего точку \( B_1 \) с точкой \( M \), то есть \( \overrightarrow{B_1M} = (0 — 1; 0 — 1; \frac{1}{3} — 1) = (-1; -1; -\frac{2}{3}) \). Для определения расстояния от точки до плоскости используем формулу расстояния \( \rho = \frac{|\overrightarrow{B_1M} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \), где числитель — это модуль скалярного произведения векторов \( \overrightarrow{B_1M} \) и \( \overrightarrow{n} \), а знаменатель — длина вектора нормали. Скалярное произведение равно \( (-1) \cdot \left(-\frac{1}{24}\right) + (-1) \cdot \frac{1}{3} + \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{24} — \frac{1}{3} — \frac{1}{12} = -\frac{11}{24} \).

Длина вектора нормали равна \( \sqrt{\left(-\frac{1}{24}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{8}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{576} + \frac{1}{9} + \frac{1}{64}} \). Приводим к общему знаменателю и суммируем: \( \frac{1}{576} + \frac{64}{576} + \frac{9}{576} = \frac{74}{576} = \frac{37}{288} \). Значит, длина равна \( \sqrt{\frac{37}{288}} = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{288}} \). После упрощения знаменателя получаем длину \( \frac{\sqrt{170}}{24} \).

Подставляя значения в формулу для расстояния, получаем \( \rho = \frac{\left|-\frac{11}{24}\right|}{\frac{\sqrt{170}}{24}} = \frac{\frac{11}{24}}{\frac{\sqrt{170}}{24}} = \frac{11}{\sqrt{170}} \). Умножая числитель и знаменатель на \( \sqrt{170} \), получаем окончательный ответ \( \frac{11 \sqrt{170}}{170} \) см.