ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием тетраэдра \(SABC\) является прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle BAC = 90^\circ\)). Ребро \(SA\) перпендикулярно плоскости основания. Рёбра \(AB\), \(AC\) и \(AS\) относятся как \(3 : 4 : 1\) соответственно. Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(SC\) соответственно. Точка \(K\) принадлежит ребру \(AC\) и делит его в отношении \(1 : 3\), считая от точки \(A\). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(MNK\).

Основание \(ABC\) — прямоугольный треугольник с катетами \(AB = 3\), \(AC = 4\), а высота \(SA = 1\) перпендикулярна плоскости основания.

Точки \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AB\) и \(SC\), соответственно, а \(K\) делит \(AC\) в отношении \(1:3\).

Векторы плоскости \(ABC\): \(\overrightarrow{AB} = (3,0,0)\), \(\overrightarrow{AC} = (0,4,0)\). Их векторное произведение даёт нормаль \(\overrightarrow{n_1} = (0,0,12)\).

Векторы плоскости \(MNK\): \(\overrightarrow{MN} = \left(-\frac{3}{2}, 2, \frac{1}{2}\right)\), \(\overrightarrow{MK} = \left(-\frac{3}{2}, 1, 0\right)\). Их векторное произведение даёт нормаль \(\overrightarrow{n_2} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)\).

Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормалями:
\(\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|} = \frac{6}{7}\).

Ответ: угол между плоскостями \(ABC\) и \(MNK\) равен \( \arccos \frac{6}{7} \).

Плоскость \(ABC\) образована треугольником с вершинами \(A\), \(B\) и \(C\). Из условия известно, что \(SA = 1\), \(AB = 3\), \(AC = 4\), и треугольник \(ABC\) прямоугольный с прямым углом при \(A\). Это значит, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) перпендикулярны. Для определения угла между плоскостями нужно найти нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости \(ABC\) находится как векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Введём систему координат так, что \(A\) находится в начале, \(B\) на оси \(x\), а \(C\) на оси \(y\). Тогда \(\overrightarrow{AB} = (3, 0, 0)\), \(\overrightarrow{AC} = (0, 4, 0)\). Их векторное произведение даёт нормаль \(\overrightarrow{n_1} = (0, 0, 12)\).

Далее рассматриваем плоскость \(MNK\), где точки \(M\), \(N\) и \(K\) заданы как середины и деления отрезков. Точка \(M\) — середина \(AB\), значит её координаты \(M = \left(\frac{3}{2}, 0, 0\right)\). Точка \(N\) — середина отрезка \(SC\), где \(S = (0, 0, 1)\), \(C = (0, 4, 0)\), значит \(N = \left(0, 2, \frac{1}{2}\right)\). Точка \(K\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(1:3\), то есть ближе к \(A\), её координаты \(K = \left(0, 1, 0\right)\). Теперь найдём векторы \(\overrightarrow{MN} = N — M = \left(-\frac{3}{2}, 2, \frac{1}{2}\right)\) и \(\overrightarrow{MK} = K — M = \left(-\frac{3}{2}, 1, 0\right)\).

Нормаль к плоскости \(MNK\) найдём как векторное произведение \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\). Вычисляем детерминант:
\(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)\). Для вычисления угла между плоскостями используем формулу косинуса угла между нормалями: \(\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}\). Скалярное произведение \(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + 12 \cdot \frac{3}{2} = 18\).

Длина вектора \(\overrightarrow{n_1} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = 12\), длина \(\overrightarrow{n_2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{16} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{16} + \frac{36}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16} + \frac{9}{16} + \frac{36}{16}} = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}\).

Подставляя значения, получаем \(\cos \theta = \frac{18}{12 \cdot \frac{7}{4}} = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}\).

Таким образом, угол между плоскостями \(ABC\) и \(MNK\) равен \( \arccos \frac{6}{7} \).