ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, если точка \(A (4; 3; -6)\) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную плоскость.

Точка \(A(4; 3; -6)\) — основание перпендикуляра из начала координат на плоскость. Значит, вектор \( \vec{OA} = (4, 3, -6) \) нормален к плоскости.

Уравнение плоскости с нормальным вектором \( \vec{n} = (4, 3, -6) \) и проходящей через точку \(A\) имеет вид:
\(4(x — 4) + 3(y — 3) — 6(z + 6) = 0\).

Раскроем скобки:
\(4x — 16 + 3y — 9 — 6z — 36 = 0\).

Сложим константы:
\(4x + 3y — 6z — 61 = 0\).

1. Точка \(A(4; 3; -6)\) — основание перпендикуляра, опущенного из начала координат \(O(0; 0; 0)\) на плоскость. Это означает, что вектор \( \vec{OA} = (4, 3, -6) \), соединяющий начало координат с точкой \(A\), является вектором нормали к искомой плоскости. Вектор нормали перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости, поэтому его координаты используются для записи уравнения плоскости.

2. Общее уравнение плоскости в пространстве задаётся формулой \(a(x — x_0) + b(y — y_0) + c(z — z_0) = 0\), где \( (a, b, c) \) — координаты нормального вектора, а \( (x_0, y_0, z_0) \) — координаты точки, через которую проходит плоскость. В нашем случае нормальный вектор \( \vec{n} = (4, 3, -6) \), а точка \(A\) с координатами \( (4, 3, -6) \) принадлежит плоскости. Подставляем эти значения в уравнение:
\(4(x — 4) + 3(y — 3) — 6(z + 6) = 0\).

3. Раскрываем скобки:
\(4x — 16 + 3y — 9 — 6z — 36 = 0\).
Теперь складываем все постоянные члены:
\(-16 — 9 — 36 = -61\).
Итоговое уравнение плоскости принимает вид:
\(4x + 3y — 6z — 61 = 0\).
Это уравнение соответствует плоскости, на которую из начала координат опущен перпендикуляр с основанием в точке \(A\).