ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием тетраэдра \(SABC\) является прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle BAC = 90^\circ\)). Ребро \(SA\) перпендикулярно плоскости основания. Рёбра \(AB\), \(AC\) и \(AS\) относятся как \(3 : 4 : 1\) соответственно. Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(SC\) соответственно. Точка \(K\) принадлежит ребру \(AC\) и делит его в отношении \(1 : 3\), считая от точки \(A\). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(MNK\).

Пусть \(d\) — плоскость \(\alpha\), которая параллельна прямым \(BD_1\) и \(B_1C\).

Векторы \(BD_1\) и \(B_1C\) лежат в плоскости \(d\), значит нормаль к \(d\) перпендикулярна этим векторам.

Нормаль к плоскости \(ABC\) направлена вертикально вверх (перпендикуляр к основанию куба).

Вычисляем косинус угла между плоскостями через скалярное произведение нормалей:

\(\cos \angle(d, ABC) = \frac{\sqrt{6}}{6}\).

Следовательно, угол между плоскостями:

\(\angle(d, ABC) = \arccos \frac{\sqrt{6}}{6}\).

Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) и плоскость \( \alpha \), которая параллельна прямым \( BD_1 \) и \( B_1C \). Чтобы найти угол между плоскостями \( \alpha \) и \( ABC \), нужно понять, как связаны эти плоскости через их нормали. Плоскость \( ABC \) — это основание куба, и её нормаль направлена вертикально вверх, перпендикулярно этому основанию.

Плоскость \( \alpha \), будучи параллельной прямым \( BD_1 \) и \( B_1C \), содержит векторы, направленные вдоль этих прямых. Значит, нормаль к плоскости \( \alpha \) перпендикулярна обоим этим векторам. Чтобы найти нормаль к \( \alpha \), нужно вычислить векторное произведение векторов \( \overrightarrow{BD_1} \) и \( \overrightarrow{B_1C} \). В результате получится вектор, который и будет нормалью к плоскости \( \alpha \).

Далее, угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Обозначим нормаль к \( \alpha \) как \( \mathbf{n}_\alpha \), а нормаль к \( ABC \) как \( \mathbf{n}_{ABC} \). Тогда косинус угла между плоскостями можно найти по формуле:

\(\cos \angle(\alpha, ABC) = \frac{|\mathbf{n}_\alpha \cdot \mathbf{n}_{ABC}|}{|\mathbf{n}_\alpha| \cdot |\mathbf{n}_{ABC}|}\).

Подставляя значения и вычисляя, получаем:

\(\cos \angle(\alpha, ABC) = \frac{\sqrt{6}}{6}\).

Отсюда непосредственно угол:

\(\angle(\alpha, ABC) = \arccos \frac{\sqrt{6}}{6}\).