ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 24 см, а высота — 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Основания трапеции \( AD = 24 \) см, \( BC = 10 \) см, высота \( BH = 17 \) см.

Средняя линия:
\( ed = \frac{AD + BC}{2} = \frac{24 + 10}{2} = 17 \) см.

Длина отрезка \( UD = AD — ed = 24 — 17 = 7 \) см.

Диагональ \( BD \) по теореме Пифагора:
\( BD = \sqrt{BH^2 + UD^2} = \sqrt{17^2 + 7^2} = \sqrt{289 + 49} = \sqrt{338} = 17 \sqrt{2} \) см.

Длина стороны \( AB \):
\( AB = \sqrt{ed^2 + BH^2} = \sqrt{7^2 + 17^2} = \sqrt{49 + 289} = \sqrt{338} \) см.

Косинус угла \( \alpha \):
\( \cos \alpha = \frac{BH}{AB} = \frac{17}{\sqrt{338}} \),
синус угла \( \alpha \):
\( \sin \alpha = \frac{17 \sqrt{338}}{338} \).

Радиус описанной окружности:
\( R = \frac{BD}{2 \sin \alpha} = \frac{17 \sqrt{2}}{2 \cdot \frac{17 \sqrt{338}}{338}} = 13 \) см.

Ответ: \( R = 13 \) см.

Дана трапеция с основаниями \( AD = 24 \) см и \( BC = 10 \) см, а также высотой \( BH = 17 \) см. Сначала найдем среднюю линию \( ed \), которая равна полусумме оснований, то есть \( ed = \frac{AD + BC}{2} = \frac{24 + 10}{2} = 17 \) см. Эта величина важна, так как она помогает определить положение точки \( U \) на основании \( AD \), где проведена высота \( BH \). Отрезок \( UD \) вычисляется как разность длины основания \( AD \) и средней линии \( ed \), то есть \( UD = AD — ed = 24 — 17 = 7 \) см. Этот отрезок служит одним из катетов прямоугольного треугольника \( BUD \), в котором высота \( BH \) является другим катетом.

Для нахождения длины диагонали \( BD \) применим теорему Пифагора в треугольнике \( BUD \), где \( BD \) — гипотенуза, а катеты — \( BH = 17 \) см и \( UD = 7 \) см. Вычисляем: \( BD = \sqrt{BH^2 + UD^2} = \sqrt{17^2 + 7^2} = \sqrt{289 + 49} = \sqrt{338} \). Корень из 338 можно представить в виде \( 17 \sqrt{2} \), что упрощает последующие вычисления. Далее найдем длину стороны \( AB \), которая образует угол \( \alpha \) с диагональю. Она равна гипотенузе в треугольнике с катетами \( ed = 7 \) см и \( BH = 17 \) см, то есть \( AB = \sqrt{ed^2 + BH^2} = \sqrt{7^2 + 17^2} = \sqrt{49 + 289} = \sqrt{338} \).

Теперь вычислим угол \( \alpha \), используя косинус, который равен отношению прилежащего катета \( BH \) к гипотенузе \( AB \), то есть \( \cos \alpha = \frac{BH}{AB} = \frac{17}{\sqrt{338}} \). Из этого следует, что синус угла \( \alpha \) равен \( \sin \alpha = \frac{17 \sqrt{338}}{338} \), так как \( \sin \alpha = \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} \), но для удобства используем упрощенную форму. Радиус описанной окружности \( R \) вычисляется по формуле \( R = \frac{BD}{2 \sin \alpha} \). Подставляя значения, получаем \( R = \frac{17 \sqrt{2}}{2 \cdot \frac{17 \sqrt{338}}{338}} = \frac{17 \sqrt{2} \cdot 338}{2 \cdot 17 \sqrt{338}} = \frac{338 \sqrt{2}}{2 \sqrt{338}} \). Упрощая, получаем \( R = 13 \) см.

Таким образом, радиус описанной окружности вокруг трапеции равен 13 см.