ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек \(M (-6; 3; 5)\) и \(N (4; -7; 1)\).

Найдём уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек \(M(-6; 3; 5)\) и \(N(4; -7; 1)\).

Расстояние от точки \(K(x; y; z)\) до \(M\) равно расстоянию до \(N\), значит:

\((x + 6)^2 + (y — 3)^2 + (z — 5)^2 = (x — 4)^2 + (y + 7)^2 + (z — 1)^2\).

Раскроем скобки и упростим:

\(x^2 + 12x + 36 + y^2 — 6y + 9 + z^2 — 10z + 25 = x^2 — 8x + 16 + y^2 + 14y +\)
\(+ 49 + z^2 — 2z + 1\).

Сократим одинаковые члены:

\(12x + 36 — 6y + 9 — 10z + 25 = -8x + 16 + 14y + 49 — 2z + 1\).

Перенесём все в левую часть:

\(12x + 8x — 6y — 14y — 10z + 2z + 36 + 9 + 25 — 16 — 49 — 1 = 0\),

\(20x — 20y — 8z + 4 = 0\).

Упростим, разделив на 4:

\(5x — 5y — 2z + 1 = 0\).

Для нахождения уравнения геометрического места точек, равноудалённых от двух заданных точек \(M(-6; 3; 5)\) и \(N(4; -7; 1)\), нужно воспользоваться определением равенства расстояний. Пусть \(K(x; y; z)\) — произвольная точка пространства. Тогда условие равноудалённости означает, что расстояние от \(K\) до \(M\) равно расстоянию от \(K\) до \(N\). Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\).

Запишем равенство расстояний от точки \(K\) до точек \(M\) и \(N\):

\(\sqrt{(x + 6)^2 + (y — 3)^2 + (z — 5)^2} = \sqrt{(x — 4)^2 + (y + 7)^2 + (z — 1)^2}\).

Чтобы избавиться от корней, возведём обе части уравнения в квадрат, получим:

\((x + 6)^2 + (y — 3)^2 + (z — 5)^2 = (x — 4)^2 + (y + 7)^2 + (z — 1)^2\).

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения. Левая часть:

\((x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36\),

\((y — 3)^2 = y^2 — 6y + 9\),

\((z — 5)^2 = z^2 — 10z + 25\).

Складываем:

\(x^2 + 12x + 36 + y^2 — 6y + 9 + z^2 — 10z + 25\).

Правая часть:

\((x — 4)^2 = x^2 — 8x + 16\),

\((y + 7)^2 = y^2 + 14y + 49\),

\((z — 1)^2 = z^2 — 2z + 1\).

Складываем:

\(x^2 — 8x + 16 + y^2 + 14y + 49 + z^2 — 2z + 1\).

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

\(x^2 + 12x + 36 + y^2 — 6y + 9 + z^2 — 10z + 25 = x^2 — 8x + 16 + y^2 + 14y +\)
\(+ 49 + z^2 — 2z + 1\).

Теперь сократим одинаковые члены слева и справа: \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\) взаимно уничтожаются, остаётся:

\(12x + 36 — 6y + 9 — 10z + 25 = -8x + 16 + 14y + 49 — 2z + 1\).

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:

\(12x + 8x — 6y — 14y — 10z + 2z + 36 + 9 + 25 — 16 — 49 — 1 = 0\).

Сложим подобные члены:

\(20x — 20y — 8z + 4 = 0\).

Для упрощения разделим всё уравнение на 4:

\(5x — 5y — 2z + 1 = 0\).

Это и есть искомое уравнение плоскости, состоящей из всех точек, равноудалённых от точек \(M\) и \(N\).