ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки \(M (3; a; -5)\) и \(K (7; 1; a)\). При каком значении \(a\) прямая \(MK\) параллельна плоскости \(4x — 3y + z — 6 = 0\)?

Вектор направления прямой \(MK\) равен \(\overrightarrow{MK} = (7 — 3; 1 — a; a — (-5)) = (4; 1 — a; a + 5)\).

Нормаль к плоскости \(4x — 3y + z — 6 = 0\) — вектор \(\mathbf{n} = (4; -3; 1)\).

Для параллельности прямой и плоскости необходимо, чтобы \(\overrightarrow{MK} \cdot \mathbf{n} = 0\), то есть \(4 \cdot 4 + (1 — a)(-3) + (a + 5) \cdot 1 = 0\).

Раскроем скобки и упростим: \(16 — 3 + 3a + a + 5 = 0\), что даёт \(18 + 4a = 0\).

Решая уравнение, получаем \(a = -\frac{18}{4} = -4.5\).

1. Чтобы найти значение \(a\), при котором прямая \(MK\) параллельна плоскости \(4x — 3y + z — 6 = 0\), сначала нужно определить вектор направления прямой. Прямая задана двумя точками: \(M(3; a; -5)\) и \(K(7; 1; a)\). Вектор направления \(\overrightarrow{MK}\) получают вычитанием координат точки \(M\) из координат точки \(K\): \(\overrightarrow{MK} = (7 — 3; 1 — a; a — (-5))\). Это даёт вектор \(\overrightarrow{MK} = (4; 1 — a; a + 5)\).

2. Следующий шаг — найти нормальный вектор к плоскости. Уравнение плоскости имеет вид \(4x — 3y + z — 6 = 0\). Коэффициенты при \(x, y, z\) образуют вектор нормали \(\mathbf{n} = (4; -3; 1)\). Для того чтобы прямая была параллельна плоскости, её вектор направления должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Перпендикулярность двух векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю.

3. Запишем условие перпендикулярности векторов: \(\overrightarrow{MK} \cdot \mathbf{n} = 0\). Подставим координаты векторов: \(4 \cdot 4 + (1 — a)(-3) + (a + 5) \cdot 1 = 0\). Раскроем скобки: \(16 — 3 + 3a + a + 5 = 0\). Сложим подобные члены: \(16 — 3 + 5 + 4a = 0\), что упрощается до \(18 + 4a = 0\). Решая это уравнение, получаем \(4a = -18\), откуда \(a = -\frac{18}{4} = -4.5\).

Ответ: \(a = -4.5\).