ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Параллельны ли плоскости:

1) \(x + 3y + 4z — 6 = 0\) и \(3x + 9y + 12z — 12 = 0\);

2) \(x — 6y + 5z — 2 = 0\) и \(2x + 3y — 4z + 6 = 0\)?

1) Для проверки параллельности плоскостей сравним их нормальные векторы:
\( (1, 3, 4) \) и \( (3, 9, 12) \).
Второй вектор равен первому, умноженному на 3, значит плоскости параллельны.

2) Нормальные векторы плоскостей:
\( (1, -6, 5) \) и \( (2, 3, -4) \).
Нельзя получить один вектор из другого умножением на число, значит плоскости не параллельны.

1) Чтобы определить, параллельны ли две плоскости, нужно сравнить их нормальные векторы. Нормальный вектор плоскости — это вектор, перпендикулярный этой плоскости, и его координаты совпадают с коэффициентами при переменных \(x, y, z\) в уравнении плоскости. Для первой плоскости \(x + 3y + 4z — 6 = 0\) нормальный вектор равен \( (1, 3, 4) \), а для второй плоскости \(3x + 9y + 12z — 12 = 0\) нормальный вектор равен \( (3, 9, 12) \).

Если второй вектор можно получить из первого умножением на некоторое число, то плоскости параллельны, так как их нормальные векторы коллинеарны. В данном случае \( (3, 9, 12) = 3 \cdot (1, 3, 4) \), значит нормальные векторы лежат на одной прямой, и плоскости действительно параллельны.

Следовательно, первая и вторая плоскости параллельны, поскольку их нормальные векторы пропорциональны, что указывает на одинаковое направление перпендикуляров к этим плоскостям.

2) Рассмотрим нормальные векторы для второй пары плоскостей. Для плоскости \(x — 6y + 5z — 2 = 0\) нормальный вектор равен \( (1, -6, 5) \), а для плоскости \(2x + 3y — 4z + 6 = 0\) нормальный вектор равен \( (2, 3, -4) \).

Чтобы плоскости были параллельны, должен существовать такой коэффициент \(k\), что \( (2, 3, -4) = k \cdot (1, -6, 5) \). Проверим это по координатам получаем противоречие, так как \(k\) не может быть одновременно 2 и \(-\frac{1}{2}\).

Поскольку коэффициенты не совпадают, нормальные векторы не коллинеарны, значит плоскости не параллельны.

Таким образом, вторая пара плоскостей не параллельна, так как их нормальные векторы не пропорциональны.