ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 6.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку \(M (2; 3; -9)\) параллельно плоскости \(x + y — 5z + 3 = 0\).

Дана плоскость \(x + y — 5z + 3 = 0\). Нормальный вектор к ней равен \(\vec{n} = (1, 1, -5)\).

Плоскость, параллельная данной, имеет такое же направление нормали. Значит, уравнение искомой плоскости будет иметь вид \(1(x — 2) + 1(y — 3) — 5(z + 9) = 0\), где \(M(2, 3, -9)\) — точка, через которую она проходит.

Раскроем скобки и упростим: \(x — 2 + y — 3 — 5z — 45 = 0\), что даёт \(x + y — 5z — 50 = 0\) — уравнение искомой плоскости.

Плоскость задана уравнением \(x + y — 5z + 3 = 0\). В этом уравнении коэффициенты при переменных \(x\), \(y\) и \(z\) определяют нормальный вектор плоскости. Нормальный вектор — это вектор, перпендикулярный плоскости, и он задаётся как \(\vec{n} = (1, 1, -5)\). Если другая плоскость параллельна данной, то её нормальный вектор будет коллинеарен (то есть совпадает по направлению) с нормальным вектором исходной плоскости. Значит, мы можем использовать тот же вектор \(\vec{n} = (1, 1, -5)\) для уравнения искомой плоскости.

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку \(M(2, 3, -9)\) и параллельной исходной, нужно записать уравнение в общем виде: \(1(x — x_0) + 1(y — y_0) — 5(z — z_0) = 0\), где \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты точки \(M\). Подставляем координаты точки: \(x_0 = 2\), \(y_0 = 3\), \(z_0 = -9\). Получаем уравнение: \(1(x — 2) + 1(y — 3) — 5(z + 9) = 0\).

Раскроем скобки и приведём подобные члены: \(x — 2 + y — 3 — 5z — 45 = 0\). Сложим константы: \(-2 — 3 — 45 = -50\). В итоге уравнение примет вид: \(x + y — 5z — 50 = 0\). Это и есть уравнение плоскости, проходящей через точку \(M(2, 3, -9)\) и параллельной плоскости \(x + y — 5z + 3 = 0\).