ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см вращают вокруг большей стороны. Найдите:

1) диагональ осевого сечения образовавшегося цилиндра;

2) площадь полной поверхности этого цилиндра.

1) Диагональ осевого сечения цилиндра — это диагональ прямоугольника со сторонами 1 см и 3 см:
\( d = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \, \text{см} \).

2) Площадь полной поверхности цилиндра:
Радиус основания \( r = 0{,}5 \, \text{см} \) (половина меньшей стороны), высота \( h = 3 \, \text{см} \).
Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 0{,}5 \cdot 3 = 3 \pi \).
Площадь двух оснований \( S_{\text{осн}} = 2 \pi r^2 = 2 \pi \cdot 0{,}5^2 = 0{,}5 \pi \).
Полная площадь поверхности \( S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 3 \pi + 0{,}5 \pi = 3{,}5 \pi \).

Диагональ осевого сечения цилиндра — это диагональ прямоугольника, образующего это сечение. У нас есть прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см. Чтобы найти длину диагонали, нужно применить теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае диагональ \( d \) является гипотенузой, а стороны прямоугольника — катетами. Значит, \( d = \sqrt{1^2 + 3^2} \). Возводим в квадрат: \( 1^2 = 1 \), \( 3^2 = 9 \), складываем: \( 1 + 9 = 10 \). Следовательно, диагональ равна \( \sqrt{10} \) сантиметров.

Теперь рассмотрим площадь полной поверхности цилиндра, который образуется вращением прямоугольника вокруг большей стороны (3 см). При вращении меньшая сторона (1 см) становится диаметром основания цилиндра. Значит, радиус основания цилиндра равен половине меньшей стороны: \( r = \frac{1}{2} = 0{,}5 \) см. Высота цилиндра равна стороне, вокруг которой происходит вращение, то есть 3 см. Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = 2 \pi r h \), где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота цилиндра. Подставляем значения: \( 2 \pi \cdot 0{,}5 \cdot 3 = 3 \pi \). Площадь двух оснований равна сумме площадей двух кругов, то есть \( S_{\text{осн}} = 2 \pi r^2 \). Подставляем радиус: \( 2 \pi \cdot (0{,}5)^2 = 2 \pi \cdot 0{,}25 = 0{,}5 \pi \). Сложив обе площади, получаем полную площадь поверхности: \( S_{\text{полн}} = 3 \pi + 0{,}5 \pi = 3{,}5 \pi \).