ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом \(120^\circ\), а из центра верхнего основания — под углом \(60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина данной хорды равна 6 см.

Обозначим радиус основания цилиндра за \(r\).

Из треугольника с углом \(120^\circ\) и хордой \(6\) см по формуле косинусов:

\(6^2 = r^2 + r^2 — 2r \cdot r \cdot \cos 120^\circ\)

\(36 = 2r^2 + 2r^2 \cdot \frac{1}{2} = 3r^2\)

Отсюда \(r^2 = 12 \Rightarrow r = 2\sqrt{3}\) см.

Высота цилиндра \(h\) найдена из треугольника с углом \(60^\circ\):

\(h = 2\sqrt{6}\) см.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

\(S = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 24 \pi \sqrt{2}\) см².

1. Рассмотрим треугольник, образованный радиусами основания цилиндра и хордой длиной 6 см. Из условия известно, что угол, под которым видна хорда из центра нижнего основания, равен \(120^\circ\). Обозначим радиус основания за \(r\). По теореме косинусов для треугольника с двумя сторонами равными \(r\) и углом между ними \(120^\circ\) сторона (хорда) вычисляется по формуле: \(6^2 = r^2 + r^2 — 2 r \cdot r \cdot \cos 120^\circ\). Подставим значение косинуса: \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), тогда уравнение примет вид \(36 = 2 r^2 — 2 r^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 r^2 + r^2 = 3 r^2\). Отсюда находим \(r^2 = 12\), следовательно \(r = 2 \sqrt{3}\) см.

2. Теперь определим высоту цилиндра \(h\). Из центра верхнего основания хорда видна под углом \(60^\circ\). Это значит, что расстояние между точками проекции хорды на верхнем основании и центром верхнего основания формирует угол \(60^\circ\) с высотой цилиндра. Используем формулу для расстояния между точками, учитывая, что высота и радиус образуют прямоугольный треугольник. Тогда \(h = 2 \sqrt{6}\) см.

3. Для вычисления площади боковой поверхности цилиндра используем формулу \(S = 2 \pi r h\). Подставим найденные значения: \(S = 2 \pi \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{6} = 8 \pi \sqrt{18} = 24 \pi \sqrt{2}\) см². Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \(24 \pi \sqrt{2}\) квадратных сантиметров.