ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом \(\alpha\). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно \(a\).

Рассмотрим нижнее основание цилиндра с центром O и хорду, видимую под углом \(\alpha\). Расстояние от центра до хорды равно \(a\), значит радиус основания \(R = \frac{a}{\cos \frac{\alpha}{2}}\).

Высота цилиндра \(h\) связана с углом \(\beta\) и отрезком, соединяющим центр верхнего основания с концом хорды. Этот отрезок образует угол \(\beta\) с плоскостью основания, значит \(h = R \tan \beta\).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S = 2 \pi R h\).

Подставляя выражения для \(R\) и \(h\), получаем

\(S = 2 \pi \frac{a}{\cos \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{a}{\cos \frac{\alpha}{2}} \tan \beta = \frac{2 \pi a^2 \tan \beta}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}\).

Рассмотрим цилиндр с основанием, в котором проведена хорда, видимая из центра основания под углом \(\alpha\). Пусть центр основания обозначен как точка \(O\). Хорда расположена так, что расстояние от центра \(O\) до хорды равно \(a\). Из геометрии окружности известно, что расстояние от центра окружности до хорды связано с радиусом \(R\) и половиной угла, под которым видна хорда. В частности, если хорда видна под углом \(\alpha\), то половина угла равна \(\frac{\alpha}{2}\), и длина проекции радиуса на перпендикуляр к хорде равна \(a\). Отсюда радиус основания цилиндра выражается как \(R = \frac{a}{\cos \frac{\alpha}{2}}\).

Далее рассмотрим высоту цилиндра \(h\). Из условия известно, что отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов хорды, образует угол \(\beta\) с плоскостью основания. Этот отрезок можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника, где одна катет — высота цилиндра \(h\), а другой — радиус основания \(R\). Угол \(\beta\) — это угол между гипотенузой и основанием, значит высота связана с радиусом и углом \(\beta\) соотношением \(h = R \tan \beta\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S = 2 \pi R h\). Подставляя найденные выражения для \(R\) и \(h\), получаем \(S = 2 \pi \frac{a}{\cos \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{a}{\cos \frac{\alpha}{2}} \tan \beta\), что упрощается до \(S = \frac{2 \pi a^2 \tan \beta}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}}\). Таким образом, площадь боковой поверхности выражена через заданные параметры \(a\), \(\alpha\) и \(\beta\).