ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом \(\beta\). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, равен \(t\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра. В данной задаче высота \(h\) равна длине отрезка \(m\), соединяющего центр верхнего основания и середину хорды на нижнем основании. Радиус \(r\) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного хордой и отрезком, соединяющим центр основания и середину хорды. Используя тригонометрические соотношения, получаем \(r = \frac{m\sin(\beta/2)}{\cos(\alpha)}\). Подставляя это выражение в формулу площади боковой поверхности, получаем окончательный ответ \(2\pi m^2\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(\beta/2)}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра. В данной задаче высота \(h\) равна длине отрезка \(m\), соединяющего центр верхнего основания и середину хорды на нижнем основании. Радиус \(r\) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного хордой и отрезком, соединяющим центр основания и середину хорды. Используя тригонометрические соотношения, получаем \(r = \frac{m\sin(\beta/2)}{\cos(\alpha)}\). Подставляя это выражение в формулу площади боковой поверхности, получаем окончательный ответ \(2\pi m^2\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(\beta/2)}\).

Для вывода этой формулы рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный хордой и отрезком, соединяющим центр основания и середину хорды. Из этого треугольника следует, что \(r = \frac{m\sin(\beta/2)}{\cos(\alpha)}\). Подставляя это выражение в формулу площади боковой поверхности \(2\pi r h\), получаем \(2\pi \left(\frac{m\sin(\beta/2)}{\cos(\alpha)}\right) m = 2\pi m^2\frac{\sin(\beta/2)}{\cos(\alpha)}\).

Далее, используя тригонометрическую формулу \(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\), можно переписать эту формулу в виде \(2\pi m^2\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(\beta/2)}\). Таким образом, мы получили окончательный ответ, выраженный через данные задачи — длину отрезка \(m\), угол \(\alpha\) между этим отрезком и плоскостью основания, и угол \(\beta\), под которым видна хорда из центра основания.