ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вокруг какой из сторон прямоугольника, большей или меньшей, надо его вращать, чтобы получить цилиндр с большей площадью:

1) боковой поверхности;

2) полной поверхности?

Для получения цилиндра с большей площадью боковой поверхности вращение вокруг большей стороны не имеет значения, так как площадь боковой поверхности цилиндра равна \( S_{\text{бок}} = \pi ab \).

Для получения цилиндра с большей полной площадью вращение должно происходить вокруг меньшей стороны, так как полная площадь поверхности цилиндра определяется как \( S_{\text{полная}} = \pi ab + \frac{\pi a^2}{2} \) при вращении вокруг меньшей стороны и как \( S_{\text{полная}} = \pi ab + \frac{\pi b^2}{2} \) при вращении вокруг большей стороны. Поскольку \( a > b \), то \( \frac{\pi a^2}{2} > \frac{\pi b^2}{2} \).

Ответ: вращать вокруг меньшей стороны для большей полной площади.

Для анализа задачи о вращении прямоугольника и получении цилиндра, необходимо рассмотреть два случая: вращение вокруг большей стороны и вращение вокруг меньшей стороны. Пусть \( a \) — большая сторона прямоугольника, а \( b \) — меньшая сторона. При вращении прямоугольника вокруг большей стороны \( a \), высота цилиндра будет равна \( h = a \), а радиус основания будет равен \( r = \frac{b}{2} \). Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \left(\frac{b}{2}\right) a = \pi ab \).

Теперь рассмотрим полную площадь поверхности цилиндра. Она включает в себя как площадь боковой поверхности, так и площади оснований. Площадь основания цилиндра равна \( \pi r^2 = \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{4} \). Полная площадь поверхности цилиндра при вращении вокруг большей стороны будет равна \( S_{\text{полная}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{основания}} = \pi ab + 2 \cdot \frac{\pi b^2}{4} = \pi ab + \frac{\pi b^2}{2} \).

Теперь рассмотрим второй случай — вращение прямоугольника вокруг меньшей стороны \( b \). В этом случае высота цилиндра будет равна \( h = b \), а радиус основания будет равен \( r = \frac{a}{2} \). Площадь боковой поверхности цилиндра в этом случае также равна \( S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \left(\frac{a}{2}\right) b = \pi ab \). Полная площадь поверхности цилиндра при вращении вокруг меньшей стороны будет равна \( S_{\text{полная}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{основания}} = \pi ab + 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \pi ab + \frac{\pi a^2}{2} \).

Сравнивая полные площади поверхностей цилиндров, получаем: при вращении вокруг большей стороны \( S_{\text{полная}} = \pi ab + \frac{\pi b^2}{2} \), а при вращении вокруг меньшей стороны \( S_{\text{полная}} = \pi ab + \frac{\pi a^2}{2} \). Поскольку \( a > b \), то \( \frac{\pi a^2}{2} > \frac{\pi b^2}{2} \). Это означает, что полная площадь поверхности цилиндра будет больше при вращении вокруг меньшей стороны.

Таким образом, для получения цилиндра с большей полной площадью следует вращать прямоугольник вокруг меньшей стороны.