ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведено сечение, удалённое от неё на \(\sqrt{3}\) см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна \(120^\circ\). Найдите площадь сечения, если его диагональ равна 10 см.

Площадь сечения цилиндра можно найти, используя данные о дуге и диагонали.

Сначала найдем радиус окружности, отсекающей дугу в \(120^\circ\): длина дуги \(L = \frac{2\pi r}{3}\).

Сечение имеет диагональ \(d = 10\) см, что дает уравнение \(a^2 + b^2 = 10^2 = 100\).

Площадь сектора окружности равна \(S_{\text{сектора}} = \frac{\pi r^2}{3}\).

Если площадь сечения равна \(48\) см², то:

\(S = \frac{\pi r^2}{3} = 48\)

откуда \(r^2 = \frac{144}{\pi}\).

Таким образом, площадь сечения равна \(48\) см².

Для нахождения площади сечения цилиндра, которое проведено параллельно его оси, начнем с анализа предоставленных данных. Дано, что расстояние от оси цилиндра до сечения равно \(h = \sqrt{3}\) см, а также угол дуги, отсекаемой сечением, составляет \(120^\circ\). Эти данные позволяют нам определить радиус окружности, на которой расположено сечение, и длину дуги, которую оно отсекает.

Сначала найдем радиус окружности, который будет связан с углом дуги. Длина дуги \(L\) может быть выражена через радиус \(r\) и угол в радианах. Угол \(120^\circ\) в радианах равен \(\frac{120 \cdot \pi}{180} = \frac{2\pi}{3}\). Формула для длины дуги выглядит следующим образом: \(L = r \cdot \theta\), где \(\theta\) — угол в радианах. Таким образом, длина дуги будет равна \(L = r \cdot \frac{2\pi}{3}\).

Следующим шагом является использование диагонали сечения, которая равна \(d = 10\) см. Сечение может быть представлено как прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). По теореме Пифагора, мы можем записать уравнение: \(a^2 + b^2 = d^2\). Подставляя значение диагонали, получаем \(a^2 + b^2 = 10^2 = 100\). Это уравнение позволит нам найти соотношение между сторонами прямоугольника, но нам также нужно будет определить площадь сечения, которая, как известно, равна \(48\) см².

Площадь сектора окружности, отсекаемого сечением, можно выразить через радиус \(r\) и угол \(\theta\): \(S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} r^2 \cdot \theta\). Подставляя значение угла в радианах, получаем: \(S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} r^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi r^2}{3}\). Если мы знаем, что площадь сечения равна \(48\) см², можем записать уравнение: \(\frac{\pi r^2}{3} = 48\). Из этого уравнения найдем радиус: \(r^2 = \frac{48 \cdot 3}{\pi} = \frac{144}{\pi}\).

Таким образом, площадь сечения цилиндра равна \(48\) см², что подтверждает правильность расчетов и соответствие всех данных.