ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между диагональю развёртки боковой поверхности цилиндра и стороной развёртки, равной длине окружности основания цилиндра, равен \(\alpha\). Найдите угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.

Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания равен \( \beta = \arctan(\pi \tan(\alpha)) \).

Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания можно найти, используя геометрические свойства цилиндра и его развёртки. Рассмотрим цилиндр с радиусом основания \( R \) и высотой \( h \). Длина окружности основания цилиндра равна \( L = 2\pi R \). Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, где одна сторона равна высоте \( h \), а другая — длине окружности \( L \).

Диагональ этого прямоугольника, обозначим её \( d \), можно выразить через теорему Пифагора: \( d = \sqrt{L^2 + h^2} = \sqrt{(2\pi R)^2 + h^2} \). Угол между диагональю развёртки и стороной, равной длине окружности, обозначим как \( \alpha \). По определению тангенса угла, получаем \( \tan(\alpha) = \frac{h}{L} = \frac{h}{2\pi R} \).

Теперь рассмотрим осевое сечение цилиндра, которое представляет собой прямоугольный треугольник с высотой \( h \) и основанием \( R \). Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания обозначим как \( \beta \). В этом треугольнике также можно выразить тангенс угла \( \beta \) как \( \tan(\beta) = \frac{h}{R} \). Подставив выражение для \( h \) из предыдущего уравнения, получаем \( h = 2\pi R \tan(\alpha) \). Подставляя это значение в уравнение для \( \tan(\beta) \), мы получаем \( \tan(\beta) = \frac{2\pi R \tan(\alpha)}{R} = 2\pi \tan(\alpha) \).

Наконец, угол \( \beta \) можно выразить через угол \( \alpha \) следующим образом: \( \beta = \arctan(2\pi \tan(\alpha)) \). Это и есть угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания. Таким образом, окончательный ответ: \( \beta = \arctan(\pi \tan(\alpha)) \).