ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Концы отрезка \(AB\), равного 15 см, принадлежат окружностям разных оснований цилиндра. Найдите расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра, если высота цилиндра равна 9 см, а радиус его основания — 8 см.

Рассмотрим цилиндр с высотой \(h = 9\) см и радиусом основания \(r = 8\) см. Отрезок \(AB = 15\) см соединяет точки на окружностях разных оснований.

Сначала определим расстояние между основаниями цилиндра, равное высоте \(h = 9\) см. Отрезок \(AB\) образует гипотенузу прямоугольного треугольника, где один катет — это высота \(h = 9\) см, а второй катет — разность радиусов проекций точек \(A\) и \(B\) на плоскость основания.

Обозначим проекции точек \(A\) и \(B\) на плоскость основания. Расстояние между проекциями точек \(A\) и \(B\) на плоскости основания обозначим как \(d\). Тогда по теореме Пифагора: \(AB^2 = h^2 + d^2\), то есть \(15^2 = 9^2 + d^2\), откуда \(d^2 = 225 — 81 = 144\), \(d = 12\) см.

Теперь рассмотрим плоскость основания. Точки проекций \(A\) и \(B\) лежат на окружностях радиусом \(r = 8\) см. Расстояние от оси цилиндра (центра окружности) до прямой, соединяющей проекции \(A\) и \(B\), можно найти, учитывая, что \(d = 12\) см. Расстояние от центра до хорды длиной \(d\) в окружности радиусом \(r\) равно \(\sqrt{r^2 — (d/2)^2}\), то есть \(\sqrt{8^2 — (12/2)^2} = \sqrt{64 — 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\) см.

Таким образом, расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра равно \(2\sqrt{7}\) см.

Давайте разберем задачу более подробно, чтобы понять, как найти расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра. Мы имеем цилиндр, у которого высота равна \(h = 9\) см, а радиус основания составляет \(r = 8\) см. Отрезок \(AB\), длина которого равна \(15\) см, соединяет две точки, принадлежащие окружностям разных оснований цилиндра. Наша цель — определить, на каком расстоянии находится прямая, проходящая через точки \(A\) и \(B\), от оси цилиндра, то есть от прямой, которая проходит через центры оснований цилиндра. Для этого нам нужно рассмотреть геометрические свойства цилиндра и применить базовые теоремы, такие как теорема Пифагора, а также учитывать проекции точек на плоскость основания.

Начнем с того, что представим цилиндр в пространстве. Основания цилиндра — это две параллельные окружности радиусом \(r = 8\) см, расположенные на расстоянии \(h = 9\) см друг от друга. Ось цилиндра проходит через центры этих окружностей и перпендикулярна плоскостям оснований. Точки \(A\) и \(B\) лежат на разных основаниях, то есть одна точка, например \(A\), находится на нижнем основании, а другая точка \(B\) — на верхнем основании. Отрезок \(AB\) соединяет эти точки, и его длина равна \(15\) см. Поскольку основания параллельны, а ось перпендикулярна им, мы можем спроецировать точки \(A\) и \(B\) на одну из плоскостей основания, чтобы упростить задачу. Рассмотрим проекцию на нижнее основание. Пусть точка \(A\) уже находится на нижнем основании, а точка \(B’\) — это проекция точки \(B\) с верхнего основания на нижнее основание. Расстояние между точками \(A\) и \(B’\) в плоскости основания обозначим как \(d\). Теперь мы можем представить отрезок \(AB\) как гипотенузу прямоугольного треугольника, где один катет — это высота цилиндра \(h = 9\) см (расстояние между основаниями), а второй катет — это расстояние \(d\) между проекциями точек \(A\) и \(B’\) в плоскости основания. По теореме Пифагора имеем: \(AB^2 = h^2 + d^2\), то есть \(15^2 = 9^2 + d^2\). Вычислим: \(225 = 81 + d^2\), откуда \(d^2 = 225 — 81 = 144\), следовательно, \(d = 12\) см. Таким образом, в плоскости основания расстояние между проекциями точек \(A\) и \(B’\) равно \(12\) см.

Далее нам нужно понять, как это расстояние \(d = 12\) см связано с осью цилиндра. В плоскости основания точки \(A\) и \(B’\) лежат на окружности радиусом \(r = 8\) см (или на одной окружности, если проекция совпадает с точкой на основании). Однако в общем случае мы рассматриваем отрезок между проекциями как хорду, если точки не лежат на одной прямой с центром. Ось цилиндра в этой плоскости проецируется в центр окружности основания. Нам нужно найти расстояние от центра окружности (проекции оси цилиндра) до прямой, соединяющей точки \(A\) и \(B’\), то есть до хорды длиной \(d = 12\) см. В окружности радиусом \(r = 8\) см расстояние от центра до хорды длиной \(d\) можно найти по формуле \(\sqrt{r^2 — \left(\frac{d}{2}\right)^2}\). Подставим значения: \(\frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см, тогда расстояние равно \(\sqrt{8^2 — 6^2} = \sqrt{64 — 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\) см. Это расстояние в плоскости основания между центром (проекцией оси цилиндра) и прямой, соединяющей проекции точек \(A\) и \(B’\). Поскольку ось цилиндра перпендикулярна плоскости основания, а прямая \(AB\) в пространстве проецируется на эту хорду, расстояние от прямой \(AB\) до оси цилиндра в пространстве будет таким же, как расстояние от проекции оси до хорды в плоскости основания, то есть \(2\sqrt{7}\) см.

Теперь давайте уточним, почему это расстояние действительно соответствует искомому. Прямая \(AB\) в пространстве проходит через точки \(A\) и \(B\), а ось цилиндра — это прямая, проходящая через центры оснований. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве определяется как кратчайшее расстояние между любой точкой на одной прямой и другой прямой. В данном случае, из-за симметрии цилиндра и расположения точек на основаниях, минимальное расстояние реализуется в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, и совпадает с расстоянием от центра основания до хорды, соединяющей проекции точек. Таким образом, мы уверены, что найденное значение \(\sqrt{r^2 — \left(\frac{d}{2}\right)^2} = 2\sqrt{7}\) см является правильным.

Итак, после всех вычислений и геометрических рассуждений мы приходим к выводу, что расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра равно \(2\sqrt{7}\) см. Этот результат получен путем разбиения задачи на два этапа: сначала нахождение расстояния между проекциями точек в плоскости основания с использованием теоремы Пифагора, а затем определение расстояния от центра окружности до хорды в этой плоскости. Такой подход позволяет нам точно определить искомое расстояние, учитывая все геометрические особенности цилиндра и расположение отрезка \(AB\).