ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Концы отрезка \(AB\), равного \(\sqrt{2}\) см, принадлежат окружностям разных оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 1 см. Прямая \(AB\) образует с плоскостью основания цилиндра угол \(45^\circ\). Найдите расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра.

Для решения задачи рассмотрим цилиндр с радиусом основания \(R = 1\) см. Концы отрезка \(AB\), длина которого \(\sqrt{2}\) см, лежат на окружностях разных оснований, а прямая \(AB\) образует угол \(45^\circ\) с плоскостью основания.

Сначала определим высоту цилиндра через проекцию отрезка \(AB\) на ось цилиндра. Угол между \(AB\) и основанием \(45^\circ\), значит, проекция \(AB\) на ось цилиндра равна проекции на плоскость основания. Длина \(AB = \sqrt{2}\), поэтому высота между основаниями, на которых лежат концы \(A\) и \(B\), равна \(h = AB \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\) см.

Теперь рассмотрим проекцию на плоскость основания. Точки \(A\) и \(B\) проецируются на окружности радиусом \(R = 1\) см. Расстояние между проекциями точек \(A\) и \(B\) на плоскости основания равно \(AB \cdot \cos(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\) см. Это хорда окружности радиусом 1 см. Найдем расстояние от центра окружности до этой хорды. Длина хорды \(l = 1\) см, радиус \(R = 1\) см, тогда расстояние \(d\) от центра до хорды по теореме Пифагора: \(d = \sqrt{R^2 — \left(\frac{l}{2}\right)^2} = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — 0.25} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) см.

Это расстояние \(d = \frac{\sqrt{3}}{2}\) см и есть расстояние от оси цилиндра до прямой \(AB\), так как ось цилиндра проходит через центр основания, а \(AB\) проецируется на хорду.

Ответ: расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) см.

Для решения задачи рассмотрим цилиндр, у которого радиус основания равен \(R = 1\) см. У нас есть отрезок \(AB\), длина которого составляет \(\sqrt{2}\) см, причем его концы \(A\) и \(B\) лежат на окружностях разных оснований цилиндра. Также известно, что прямая \(AB\) образует угол \(45^\circ\) с плоскостью основания цилиндра. Наша цель — найти расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра, то есть прямой, проходящей через центры оснований. Давайте разберем задачу пошагово, начиная с анализа геометрических свойств цилиндра и отрезка \(AB\). Мы будем использовать проекции и тригонометрию для определения необходимых расстояний, а также учитывать пространственное расположение прямой относительно оси. Важно понимать, что ось цилиндра перпендикулярна основаниям и проходит через их центры, а прямая \(AB\) наклонена под заданным углом, что позволяет нам разложить задачу на составляющие в плоскости и вдоль оси.

Начнем с определения высоты между основаниями, на которых лежат точки \(A\) и \(B\). Поскольку прямая \(AB\) образует угол \(45^\circ\) с плоскостью основания, мы можем разложить длину отрезка \(AB\) на две проекции: одну вдоль оси цилиндра (вертикальную) и другую на плоскость основания (горизонтальную). Длина отрезка \(AB = \sqrt{2}\) см, а угол наклона \(45^\circ\) означает, что синус и косинус этого угла равны \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Таким образом, вертикальная проекция, которая соответствует высоте \(h\) между основаниями, равна \(h = AB \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\) см. Это означает, что точки \(A\) и \(B\) находятся на основаниях, расстояние между которыми по высоте составляет 1 см. Горизонтальная проекция, то есть расстояние между проекциями точек \(A\) и \(B\) на плоскость одного основания, будет равно \(AB \cdot \cos(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\) см. Эта величина представляет собой длину хорды на окружности основания радиусом 1 см. Мы получили ключевые параметры для дальнейшего анализа, и теперь можем сосредоточиться на нахождении расстояния от оси цилиндра до прямой \(AB\).

Перейдем к рассмотрению проекции на плоскость основания. На основании цилиндра точки \(A\) и \(B\) проецируются в точки, лежащие на окружности радиусом \(R = 1\) см, а расстояние между этими проекциями равно 1 см, как мы вычислили ранее. Это расстояние является длиной хорды окружности. Чтобы найти расстояние от центра окружности (то есть от проекции оси цилиндра на основание) до этой хорды, воспользуемся геометрией окружности. В окружности радиусом \(R = 1\) см хорда длиной \(l = 1\) см образует равнобедренный треугольник с двумя радиусами, проведенными к концам хорды, и основанием, равным длине хорды. Расстояние от центра до хорды можно найти по теореме Пифагора. Половина длины хорды равна \(\frac{l}{2} = \frac{1}{2}\) см, а радиус \(R = 1\) см. Тогда расстояние \(d\) от центра до хорды равно \(d = \sqrt{R^2 — \left(\frac{l}{2}\right)^2} = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) см. Это расстояние \(d = \frac{\sqrt{3}}{2}\) см и есть расстояние от оси цилиндра до прямой \(AB\) в проекции на основание. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна основанию, а прямая \(AB\) наклонена, но ее проекция на основание определяет минимальное расстояние до оси, мы заключаем, что в пространстве это расстояние остается неизменным, так как ось цилиндра — вертикальная прямая, а наклон \(AB\) учтен через проекцию.

Дополнительно поясним, почему расстояние от оси до прямой \(AB\) совпадает с расстоянием в проекции. Ось цилиндра — это вертикальная прямая, проходящая через центр основания, а прямая \(AB\) проходит между двумя точками на разных основаниях. В пространстве минимальное расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (если они не пересекаются) определяется как перпендикуляр между ними. В данном случае, из-за симметрии цилиндра и расположения точек \(A\) и \(B\), минимальное расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра действительно равно расстоянию от проекции \(AB\) на основание до центра основания, то есть \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) см. Если бы точки \(A\) и \(B\) были расположены иначе, нам пришлось бы учитывать более сложные пространственные расчеты, но в этой задаче симметрия и равенство проекций упрощают решение. Мы также можем проверить корректность наших вычислений: длина хорды 1 см в окружности радиусом 1 см соответствует центральному углу, который можно вычислить как \(2 \cdot \arcsin\left(\frac{l}{2R}\right) = 2 \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\), что подтверждает правильность треугольника и расстояния \(d = \frac{\sqrt{3}}{2}\) см, так как в равностороннем треугольнике с углом \(60^\circ\) высота равна \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R\), что совпадает с нашим результатом.

Итак, после всех вычислений и разъяснений мы приходим к выводу, что расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) см. Этот результат получен на основе тригонометрических разложений длины отрезка \(AB\), определения проекций на ось и основание цилиндра, а также геометрических свойств окружности основания. Мы учли угол наклона прямой \(AB\), равный \(45^\circ\), который позволил нам равномерно распределить длину отрезка между вертикальной и горизонтальной составляющими, а затем применили теорему Пифагора для нахождения расстояния от центра основания до хорды, представляющей проекцию \(AB\). Таким образом, ответ полностью обоснован и соответствует условиям задачи.