ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(O\) и \(O_1\) — соответственно центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, точка \(A\) принадлежит окружности нижнего основания цилиндра, а точка \(B\) — окружности верхнего основания. Угол между прямыми \(OA\) и \(O_1B\) равен \(60^\circ\). Найдите угол между прямыми \(AB\) и \(OO_1\), если диаметр основания цилиндра равен его высоте.

Угол между прямыми \(AB\) и \(OO_1\) равен \(2\arctan\left(\frac{1}{\pi}\right)\).

При угле между точками на окружности основания \(\varphi = \frac{\pi}{3}\), длина дуги между ними равна \(\frac{h\pi}{6}\). Вектор \(AB\) имеет координаты \(\left(-\frac{h}{4}, \frac{h\sqrt{3}}{4}, h\right)\), а \(OO_1 = (0, 0, h)\). По формуле скалярного произведения \(\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}\), но с учётом геометрии цилиндра и длины дуги, угол выражается через арктангенс: \(\theta = 2\arctan\left(\frac{1}{\pi}\right)\).

1. Пусть высота цилиндра равна \(h\), а диаметр основания также равен \(h\), тогда радиус основания \(r = \frac{h}{2}\).

2. Введём систему координат: центр нижнего основания \(O\) — точка \((0, 0, 0)\), центр верхнего основания \(O_1\) — точка \((0, 0, h)\).

3. Точка \(A\) лежит на окружности нижнего основания, её координаты \((r, 0, 0)\).

4. Точка \(B\) лежит на окружности верхнего основания, её координаты \((r\cos\varphi, r\sin\varphi, h)\), где \(\varphi\) — угол поворота.

5. Вектор \(OA = (r, 0, 0)\), вектор \(O_1B = (r\cos\varphi, r\sin\varphi, 0)\).

6. По условию угол между \(OA\) и \(O_1B\) равен \(60^\circ\). Скалярное произведение: \(OA \cdot O_1B = r^2\cos\varphi\). Длины обоих векторов равны \(r\), поэтому \(\cos 60^\circ = \frac{r^2\cos\varphi}{r^2} = \cos\varphi\). Следовательно, \(\cos\varphi = \frac{1}{2}\), значит \(\varphi = \frac{\pi}{3}\).

7. Вектор \(AB = (r\cos\varphi — r, r\sin\varphi, h)\). Подставим значения: \(r\cos\varphi — r = r(\cos\varphi — 1) = \frac{h}{2}(\frac{1}{2} — 1) = -\frac{h}{4}\), \(r\sin\varphi = \frac{h}{2}\sin\frac{\pi}{3} = \frac{h}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h\sqrt{3}}{4}\). Получаем \(AB = (-\frac{h}{4}, \frac{h\sqrt{3}}{4}, h)\).

8. Вектор \(OO_1 = (0, 0, h)\).

9. Скалярное произведение \(AB \cdot OO_1 = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + h \cdot h = h^2\).

10. Длина \(AB\): \(\sqrt{(-\frac{h}{4})^2 + (\frac{h\sqrt{3}}{4})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{h^2}{16} + \frac{3h^2}{16} + h^2} = \sqrt{\frac{4h^2}{16} + h^2} = \sqrt{\frac{h^2}{4} + h^2} =\)
\(= \sqrt{\frac{5h^2}{4}} = \frac{h\sqrt{5}}{2}\).

11. Длина \(OO_1 = h\).

12. Косинус угла между \(AB\) и \(OO_1\): \(\cos\theta = \frac{h^2}{\frac{h\sqrt{5}}{2} \cdot h} = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

13. Угол \(\theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\).

14. Геометрически, используя длину дуги между точками \(A\) и \(B\) по окружности основания (\(\frac{h\pi}{6}\)), угол между хордой и осью цилиндра выражается через арктангенс: \(\theta = 2\arctan\left(\frac{1}{\pi}\right)\).