ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 7.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольник \(MM_1N_1N\) — сечение цилиндра, параллельное его оси (рис. 7.20). Точки \(A\) и \(B\) лежат на основаниях цилиндра по разные стороны от данного сечения. Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\).

Проведём через точки \(A\) и \(B\) прямую \(AB\). Из условия точки \(A\) и \(B\) лежат на противоположных основаниях цилиндра, а плоскость \(MM_1N_1\) параллельна оси цилиндра и проходит через боковую поверхность.

Так как сечение параллельно оси, то его пересечение с прямой \(AB\) будет точкой, где \(AB\) пересекает боковую поверхность цилиндра между основаниями. Это точка, у которой координата по оси высоты цилиндра совпадает с соответствующей координатой точек \(M, M_1, N, N_1\) (т.е. лежит в плоскости сечения).

Для построения:
1. Находим координаты точек \(A\) и \(B\) (пусть \(A\) на нижнем основании, \(B\) на верхнем).
2. Записываем уравнение прямой \(AB\) в параметрическом виде:
\( \vec{r}(t) = \vec{A} + t(\vec{B} — \vec{A}) \)
3. Подставляем в это уравнение условие принадлежности точке плоскости \(MM_1N_1\) (например, по высоте \(z = z_0\), где \(z_0\) — высота плоскости сечения).
4. Находим параметр \(t_0\), при котором \(z(t_0) = z_0\).
5. Получаем точку пересечения:
\( \vec{r}(t_0) = \vec{A} + t_0(\vec{B} — \vec{A}) \)

Таким образом, точка пересечения — это точка на прямой \(AB\), у которой высота равна высоте плоскости сечения.

Пусть цилиндр задан так, что его ось совпадает с осью \(Oz\), а основания лежат в плоскостях \(z = 0\) и \(z = h\). Плоскость сечения \(MM_1N_1N\) параллельна оси цилиндра, то есть параллельна оси \(Oz\), и проходит через две образующие цилиндра. Пусть эта плоскость имеет уравнение \(x = x_0\), где \(x_0\) — фиксированное значение, соответствующее положению сечения. Точки \(A\) и \(B\) принадлежат соответственно нижнему (\(z = 0\)) и верхнему (\(z = h\)) основаниям цилиндра, при этом их проекции на ось \(z\) различаются.

Запишем координаты точек: пусть \(A(x_1, y_1, 0)\) и \(B(x_2, y_2, h)\). Прямая \(AB\) имеет параметрическое уравнение: \(x = x_1 + t(x_2 — x_1)\), \(y = y_1 + t(y_2 — y_1)\), \(z = t h\), где \(t\) меняется от 0 до 1. Для нахождения точки пересечения этой прямой с плоскостью \(x = x_0\) приравниваем первую координату к \(x_0\): \(x_1 + t(x_2 — x_1) = x_0\). Отсюда выражаем параметр \(t\): \(t = \frac{x_0 — x_1}{x_2 — x_1}\).

Теперь подставляем найденный параметр \(t\) в уравнения для \(y\) и \(z\):
\(y = y_1 + \frac{x_0 — x_1}{x_2 — x_1}(y_2 — y_1)\),
\(z = \frac{x_0 — x_1}{x_2 — x_1} h\).
Таким образом, точка пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1N\) имеет координаты
\((x_0,\, y_1 + \frac{x_0 — x_1}{x_2 — x_1}(y_2 — y_1),\, \frac{x_0 — x_1}{x_2 — x_1} h)\).

Геометрически это значит, что мы ищем такую точку на прямой \(AB\), у которой абсцисса совпадает с абсциссой всех точек сечения. После вычисления параметра \(t\) мы автоматически получаем, на какой высоте и при каком значении \(y\) происходит пересечение. Такой подход применим к любому сечению цилиндра, параллельному его оси, если известны координаты точек \(A\) и \(B\), а также положение плоскости сечения.